数清两次曝光之间转了几圈

频率数的是单位时间里的圈数

时间用相对某个起点的天数，频率用每天几周，周期则用每周几天。正弦的角度采用弧度，因此频率乘时间以后，还要乘一整圈的弧度数。初相位说明恒星从一轮变化的哪里开始。

浏览器里的人工源平均归一化强度为一，半振幅 0.23，周期 0.635 天。半振幅指从平均值到峰值的距离。这里采用正弦源，真实 RR Lyrae 的轮廓通常更不对称。无论怎么改计划，源周期都保持不变。

f=\frac1P,\qquad F(t)=F_0+A\sin(2\pi f t+\phi),\qquad f_{\rm true}=\frac1{0.635\,\mathrm d}=1.57480\,\mathrm d^{-1}

浏览器 F 是线性强度。后面的 OGLE 教程把星等作为另一种数值观测量拟合。

假定每次拍摄相隔同一段时间，另有一个起始时刻偏移。把源频率加上整数倍的拍摄频率。在第 n 次拍摄，新角度比原来多了整数个整圈，以及一个常数。调整初相位消去常数，每次采到的正弦值就完全相同。

负频率可以用正频率配上反射的相位表示，因此混叠频率写成绝对值。推导采用严格等间隔时刻，并允许拟合正弦的相位和振幅。总在相同相位多拍几次，也分不开这一族解。

对于频率范围事先受限的信号，规则采样的 Nyquist 定理可以在拍摄频率的一半以下选出唯一表示。限制来自对允许信号的假设。如果恒星可能变化得更快，慢序列仍然可以模仿它的测量。

t_n=t_0+n\Delta t,\quad f_s=\frac1{\Delta t},\quad f'=f+kf_s,\quad \phi'=\phi-2\pi kf_s t_0

代入后，每次采样都只多出整数个整圈。

f_{\rm alias}=|f+kf_s|,\quad k\in\mathbb Z,\qquad f_{\rm Nyquist}=\frac{f_s}{2}

Nyquist 关系对应规则采样格点，不能用不规则观测的平均间隔定义通用截止。

每天拍一次周期 0.635 天的人工变星，源频率约为每天 1.57480 周。减去两倍拍摄频率再取绝对值，得到每天 0.42520 周，对应约 2.352 天。只减一次，还会得到约 1.740 天的候选。它们都是同一批样本的每日混叠。

浏览器用固定频率网格搜索，报告值因此落在离散格点上。种子 707 的每夜一次运行选中 2.35294 天，功率 0.9352；改成每夜分散三次拍摄，选中 0.634921 天。第一份计划没有让恒星变慢，第二份也没有让它变快。

这组代表性合成探测结果由 acquireCadence 生成，使用固定源、二十四个名义夜晚和五分钟曝光。探测噪声随导出种子变化。解析混叠关系对规则瞬时采样精确成立；已知曝光响应还会改变振幅，下面再算。

|1.57480-2|=0.42520\,\mathrm d^{-1},\qquad P_{\rm alias}=\frac1{0.42520\,\mathrm d^{-1}}\simeq2.352\,\mathrm d

一个正的慢频率，可以对应较快信号的负频率分支。

时刻不规则时，没有一个拍摄频率能代入严格混叠式。可以改用小箭头相加：对每个试探频率，让每次观测贡献一根单位箭头，角度由频率乘时刻再换成弧度。复指数只是把余弦、正弦两个坐标写在一起。

箭头对齐时，总和很长。每天规则拍摄，会在每天一周及其倍频处对齐；时间抖动让各根箭头错开。把总长平方除以样本数平方，就得到窗口功率，零频处为一。

这条窗口只由时刻决定，用来预告采样容易留下哪些竞争结构，本身不是实测恒星谱。给恒定信号做浮动均值拟合，会得到没有变化；这里直接把时刻箭头相加，连零频分量一起保留。

W(f)=\frac1{N^2}\left[\left(\sum_j\cos 2\pi ft_j\right)^2+\left(\sum_j\sin 2\pi ft_j\right)^2\right]

这个无量纲直接变换给时刻相同权重；按似然权重定义窗口，则是另一种需要说明的选择。

相机拍下的不是无限短的一点。矩形曝光把以时间戳为中心的一小段强度平均起来。积分正弦后，保留中点相位，但振幅多了 sinc 因子。慢变化几乎原样留下，快振荡则可能在一次曝光内相互抵消。

五分钟曝光配上 0.635 天周期，振幅约乘 0.99995，点采样近似很好。频率更高时，即使不规则时刻能分辨相位，曝光平均仍可能压低信号。时间戳精度与积分时长，是两种不同限制。

\overline F(t)=\frac1{T_e}\int_{t-T_e/2}^{t+T_e/2}F(u)du=F_0+A\frac{\sin(\pi f T_e)}{\pi f T_e}\sin(2\pi ft+\phi)

曝光时长趋零时，sinc 因子趋于一。时间戳是曝光中点，警报要等曝光结束才可能生成。

先考虑间隔固定的理想瞬时拍摄，以及起始相位均匀随机、持续 D 的矩形闪光。闪光短于拍摄间隔时，能让一次拍摄落进去的相位比例，就是持续时间除以间隔。这是还没考虑噪声和阈值的重叠概率。

有限曝光会扩大重叠相位范围，但部分重叠也会稀释平均强度，未必越过探测阈值。浏览器因此先让高斯闪光经过每次实际曝光平均，再加噪声、检查触发。处理时间改变的是探测以后警报什么时候到，不改变入射光子有没有被收集。

p_{\rm overlap}=\min\!\left(1,\frac{D}{\Delta t}\right)

假定无限规则瞬时拍摄、闪光相位均匀随机。有限曝光和探测阈值，需要采用上面说明的更完整计算。