从分子运动到一条有宽度的谱线

先决定哪些分子能够发光

设想每个分子只有上下两个能级。一次向下跃迁放出一个光子，光子的能量等于两级的能量差。处在下能级的分子没有这一次自发辐射可供发出，因此总分子数和能立即发光的分子数需要分开。

用$p_u$表示上能级的分子比例，$g_u,g_l$表示两级的简并度，也就是每级包含多少个具有相同能量的状态。局部热力学平衡（LTE）假设给出Boltzmann比例。它是对能级占据的规定；我们尚未计算真实气体的碰撞是否足以维持它。

Lab采用自有双能级教学物种：频率为$345\,\mathrm{GHz}$，简并度之比为三，分子质量为28个原子质量单位。它便于把完整链条算清楚，真实CO的许多转动能级另在原生资料教程中处理。

对应阅读：Mangum & Shirley, How to Calculate Molecular Column Density, arXiv 1501.01703v4 (2017) · Leiden Atomic and Molecular Database, fixed CO data file

一群分子怎样把细线铺宽

即使一团气体整体静止，分子也不会静止。沿视线的热速度有一个分布：多数靠近平均值，少数偏得很远。在给定温度下，一维热速度呈高斯分布。

令$v$为远离观察者的速度，$v_0$为整团气体的平均远离速度。把轮廓的面积规定为一，便能让分子数负责总辐射量，速度分布只负责把这些辐射放到哪些速度上。$\phi_v$的单位因此是速度单位的倒数。

本模型还用一个规定的微观非热高斯宽度$\sigma_{\rm nt}$表示未分辨运动。两种独立高斯分布相卷积，方差相加。这一处方没有生成湍流场，也不能从一个线宽反推出唯一的湍流机制。

在20开尔文下，质量为28个原子质量单位的热宽度约为$77.1\,\mathrm{m\,s^{-1}}$；加入$150\,\mathrm{m\,s^{-1}}$的非热宽度，总标准差为$168.6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，半高全宽约为$397\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。半高全宽是找到峰高一半的两点后求间距，不等于标准差。

对应阅读：Mangum & Shirley, How to Calculate Molecular Column Density, arXiv 1501.01703v4 (2017)

透明视线把微小贡献相加

先单独讨论自发辐射，并假定吸收可忽略、背景为零。$A_{ul}$是上能级分子的自发跃迁率，单位为每秒；上能级数密度为$n_u$。各方向等概率辐射，因此每单位立体角的发射率有一个球面因子。

比强度记录每单位投影面积、立体角和频率内的辐射功率。沿长度为$ds$的一小段，强度增加$j_\nu ds$。把整条视线相加，再把频率相加，归一化轮廓的积分就消掉，留下上能级柱数密度$N_u$。柱数密度数的是单位投影面积后面有多少分子，单位为每平方米。

这条简式解释了透明线的面积为什么能携带分子数信息。它还没有把背景吸收、光学厚度和未知激发温度消去；实际反演必须逐一处理这些条件。下一篇会让发射与吸收共同进入同一条视线。

对应阅读：Mangum & Shirley, How to Calculate Molecular Column Density, arXiv 1501.01703v4 (2017) · Sandbox Physics independent molecular-line science producer and reader package

接收机保存的是区间平均值

采用低速radio约定，远离对应频率下降：$v=c(1-\nu/\nu_0)$。从频率改写到速度时，归一化轮廓也要变：$\phi_\nu=(c/\nu_0)\phi_v$。漏掉这个换元因子，线面积的单位和数值都会出错。

有限通道把传输后的亮度在一个区间内求平均。保存的像素值仍然是亮度，不是亮度乘速度；计算线面积时才乘通道宽度。合并两个等宽通道，应取平均值，并把新通道宽度加倍。

做一个完整例题：一条透明高斯亮温线的峰值为1开尔文，标准差为$0.250\,\mathrm{km\,s^{-1}}$。面积为峰高乘$\sqrt{2\pi}\sigma$，得到$0.6267\,\mathrm{K\,km\,s^{-1}}$。若柱数和激发保持不变，把宽度加倍，峰值便减半，面积保持原值。这里给定的是示例亮温轮廓，尚未用它证明温度就是1开尔文。

对应阅读：Mangum & Shirley, How to Calculate Molecular Column Density, arXiv 1501.01703v4 (2017) · Sandbox Physics independent molecular-line science producer and reader package