用 Q 和 U 拟合转动的偏振方向

两个坐标表示线偏振

在接收器上固定两条垂直坐标轴。Q 比较沿这两条轴的偏振，U 比较转过四十五度的另两条轴，L 则表示线偏振强度。电场箭头反过来，仍然沿同一条直线振荡，所以偏振角转半圈就重复。这也是公式里出现二倍角的原因。

复数可以同时保存两个坐标：实部放 Q，虚部放 U。乘以 i，相当于把矢量转四分之一圈；乘以复指数，可以旋转方向而保持长度。这只是把两个正弦、余弦关系写在一起，没有增加新的可观测量。

实验固定接收器参考方向，本征角取二十度，线偏振比例取百分之八十。它没有标定天空上的绝对位置角。若使用标定过的天空坐标，常按从北向东量角。

Q=L\cos(2\chi),\qquad U=L\sin(2\chi),\qquad P=Q+iU=L e^{2i\chi},\qquad \chi=\tfrac12\operatorname{atan2}(U,Q)

Q、U 和 L 的强度单位相同。双参数反正切负责选择象限，算出的角度仍以半圈为周期。

对应阅读：Brentjens & de Bruyn (2005), Faraday Rotation Measure Synthesis, arXiv v2 · Condon & Ransom, Essential Radio Astronomy, Appendix D

给磁场加上正负号

磁场对两种圆偏振传播模式的作用不同，它们积累的相对相位会转动线偏振方向。远高于等离子体频率和回旋频率时，累积角度正比于波长平方。约定沿视线从源头指向观测者的磁场为正。

旋转量 RM 的单位是弧度每平方米。它把沿路磁场按自由电子密度加权，DM 则只数电子。若同一块均匀屏同时贡献两者，两者之比就能估计磁场。如果磁场一路反复换向，RM 会相互抵消，DM 仍然可以很大。

若薄屏位于红移 z，观测波长比屏所在参考系的波长长一加 z 倍。把同一个旋转角改用观测波长来写，得到的观测 RM 就比屏本地值小一加 z 的平方倍。解释宿主磁场前，要先分开银河系、电离层和宿主的贡献。

\chi(\lambda^2)=\chi_0+\mathrm{RM}\lambda^2,\qquad \frac{\mathrm{RM}}{\mathrm{rad\,m^{-2}}}=0.812\int\frac{n_e}{\mathrm{cm^{-3}}}\frac{B_\parallel}{\mu\mathrm G}\frac{dl}{\mathrm{pc}}

正斜率对应约定中的正磁场。波长采用观测频率对应的真空波长。

\frac{\langle B_\parallel\rangle_{n_e}}{\mu\mathrm G}=\frac{\mathrm{RM}/(\mathrm{rad\,m^{-2}})}{0.812\,\mathrm{DM}/(\mathrm{pc\,cm^{-3}})},\qquad \mathrm{RM}_{\rm obs}=\frac{\mathrm{RM}_{\rm rest}}{(1+z)^2}

比值要求两个积分对应同一群电子。红移关系适用于局域薄屏。

对应阅读：Condon & Ransom, Essential Radio Astronomy, Appendix D · Brentjens & de Bruyn (2005), Faraday Rotation Measure Synthesis, arXiv v2 · Pandhi et al. (2024), CHIME/FRB polarimetry, arXiv v2

通道里平均的是矢量

探测器一个通道覆盖一小段频率。它测到的 Q 和 U 平均了整段频率，每个频率的方向都参与其中。如果偏振方向在通道内转了很多，不同方向的矢量会相互抵消。总强度可以很高，线偏振却很小。

拟合之前，先把复偏振按通道响应积分。频率上的矩形通道，换成波长平方后并不是矩形。常见的 sinc 因子，只有对波长平方上的矩形响应才精确。实验直接积分频率通道，方向转得越快，积分分段就越细。

教学探测器的频率中心相隔十二点五兆赫，默认通道本身却只宽约 0.391 兆赫。通道间隔与通道宽度是两件事：间隔让旋转量搜索出现混叠，宽度让通道内的矢量抵消。

r_j(\phi)=\frac1{\Delta\nu_j}\int_{\nu_j-\Delta\nu_j/2}^{\nu_j+\Delta\nu_j/2}\exp\!\left(2i\phi\frac{c^2}{\nu^2}\right)d\nu,\qquad P_j=A\,r_j(\mathrm{RM})+\epsilon_j

响应 r 无量纲。φ 是试探旋转量，A 是共同的本征复偏振积分强度，ε 是保存下来的噪声。

对应阅读：Schnitzeler & Lee (2014), Rotation measure synthesis revisited, arXiv v1 · Brentjens & de Bruyn (2005), Faraday Rotation Measure Synthesis, arXiv v2

不用展开角度，也能解拟合

先把每个通道保存的 Q、U 沿时间积分。两个偏振分量使用共同的脉冲形状，窗口覆盖了几乎整条散射尾。对每个试探 RM，计算通道响应，再拟合一个共同的复振幅。模型各通道噪声方差相同，因此采用相同权重。

最小化复残差平方和，相当于同时拟合实、虚两个坐标。展开每一项后，得到只含数据的项、交叉项和振幅平方项。分别对振幅两个坐标求导并令其为零，就得到下面的投影式。把它代回残差，最佳 RM 等价于让投影模平方除以响应范数最大。

次峰表示另一种旋转，也能让一部分采样矢量对齐。引用单个最大值前，要先看整条搜索曲线。局部峰很窄，并不能消除稀疏频率采样带来的多解。真实数据还需要噪声权重、仪器泄漏与两路信号之间的校准。

S(A,\phi)=\sum_j|P_j-A r_j(\phi)|^2,\quad \widehat A(\phi)=\frac{\sum_jP_jr_j^*(\phi)}{\sum_j|r_j(\phi)|^2},\quad T(\phi)=\frac{|\sum_jP_jr_j^*(\phi)|^2}{\sum_j|r_j(\phi)|^2}

星号表示复共轭：保留实部，把虚部换号。图中匹配振幅是 T 的平方根。

对应阅读：Schnitzeler & Lee (2014), Rotation measure synthesis revisited, arXiv v1 · Brentjens & de Bruyn (2005), Faraday Rotation Measure Synthesis, arXiv v2

例题与保存的探测结果

默认 DM 为二十秒差距每立方厘米，磁场为朝向观测者的二微高斯。乘上 0.812，预测 RM 为 32.48 弧度每平方米。四百到八百兆赫之间，波长平方相差约 0.4213 平方米，偏振角转过 13.68 弧度，超过四个半圈。把主值角度直接连直线，就会漏掉这些转数。

保存的合成运行采用种子 606，三十二个通道，每个通道 1,024 个采样；每个 Stokes 样本的独立噪声标准差为 0.004。默认拟合给出 32.5 弧度每平方米，本征线偏振比例恢复到 79.74%。旋转量搜索步长为四分之一弧度每平方米。这些数字描述一次注入实验和搜索网格，不是天体观测的误差条。

粗通道示例中，单个通道测到的 Q/U 振幅缩小，考虑响应的拟合仍恢复出接近百分之八十的本征比例。这一步利用指定响应作了校正。如果几乎所有通道都严重退偏振，校正会放大噪声，恢复的振幅也会不稳定。

合成探测恢复结果，种子 606，由 freeze-synthetic.ts 生成。RM 单位为弧度每平方米。
预设	注入 RM	恢复 RM	恢复线偏振比例
默认	$32.48$	$32.50$	$79.74\%$
空旷路径	$0.00$	$0.00$	$79.98\%$
长尾	$32.48$	$32.50$	$79.41\%$
反转磁场	$-32.48$	$-32.50$	$79.81\%$
粗通道	$162.40$	$162.25$	$79.65\%$

两个角度选不出哪一圈

假设两个通道给出了偏振角差。往其中加上任意整数个半圈，显示的两个方向仍然相同，却会得到不同的 RM。增加分布合适的通道，可以排除许多分支；最终峰宽和旁瓣，仍然取决于波长覆盖。

这就接上前沿指南里的 RM synthesis。单个旋转矢量对应一个 Faraday 薄分量；多处发射、旋转的区域，要用 Faraday 深度分布描述，有限波长覆盖会把这个分布模糊。

\mathrm{RM}_n=\frac{\Delta\chi+n\pi}{\lambda_2^2-\lambda_1^2},\qquad n\in\mathbb Z

每个整数 n 都能配出同一对主值角度。需要更多频率或额外信息，才可能选出分支。

对应阅读：Brentjens & de Bruyn (2005), Faraday Rotation Measure Synthesis, arXiv v2 · Schnitzeler & Lee (2014), Rotation measure synthesis revisited, arXiv v1

用 Q 和 U 拟合转动的偏振方向

两个坐标表示线偏振

给磁场加上正负号

通道里平均的是矢量

不用展开角度，也能解拟合

例题与保存的探测结果

两个角度选不出哪一圈

练习与解释性答案

动手检验预测

恢复磁场方向，再试一次平均损失

来源与计算范围