从电子运动推到射电时延

先定波和介质

坐标沿波的传播方向，指向观测者。推导用 SI 单位，电子数密度用每立方米，正时延表示更晚到达。假定电子冷、速度远小于光速，离子不动，碰撞可以忽略。波频率远高于等离子体频率与电子回旋频率，先不加磁场。

电子带负电，电场给它的力与电场反向。正弦位移对时间求两次导数，会乘上负的角频率平方。解运动方程，得到与电场同相的位移，以及与电场反向的介质极化。这里的极化指单位体积的电偶极矩；下一章讲的波的偏振，则指电场振动方向。

m_e\ddot x=-eE,\quad x=\frac{eE}{m_e\omega^2},\quad P_e=-n_e e x,\quad \epsilon_r=1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2},\quad \omega_p^2=\frac{n_e e^2}{\epsilon_0m_e}

e 是正的元电荷大小，电子电荷为负 e。角频率用弧度每秒；相对介电常数描述介质响应怎样改变波的传播。

平面波关系把角频率和波数联系起来。整理后，对波数求导，就得到脉冲包络的速度，叫群速度。这里求导，是比较组成脉冲的相邻频率分量，频率和波数怎样一起变化。

群速度低于真空光速。单个波峰的相速度反而高于真空光速，但这并不让信号超光速。计算一小段路的额外时延，要从实际传播时间里减掉真空传播时间。

在课程的射电频带里，等离子体修正很小。把根号关系按这个小量展开，只保留第一阶，就得到便于积分的近似。接近等离子体截止频率时，不能再用这一步。

\omega^2=c^2k^2+\omega_p^2,\qquad v_g=\frac{d\omega}{dk}=c\sqrt{1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}},\qquad dt_{\rm excess}=\left(\frac1{v_g}-\frac1c\right)dl\simeq\frac{\omega_p^2}{2c\omega^2}dl

波数 k 用弧度每米。近似采用负二分之一次方的展开，只保留小修正的一半。

把等离子体频率代入小段时延，再沿路积分。积分就是 SI 单位下的电子柱密度。天文学惯用每立方厘米的密度与秒差距的路程；一秒差距约三十万亿千米。换好这两个单位，就出现常用的时延系数。

源头的发射时刻通常未知，实际比较的是两个频率的到达时间差。选一个参考频率并相减，就把未知发射时刻消掉。这里所有时间和频率都在观测者参考系。若电子集中在红移为 z 的宿主薄屏里，它对观测 DM 的贡献等于宿主参考系电子柱密度除以一加 z；分布在宇宙学长路径上的电子，则要做带红移权重的积分。

\mathrm{DM}=\int n_e\,dl,\qquad t_{\rm excess}=\frac{e^2}{8\pi^2\epsilon_0m_ec\nu^2}\int n_e\,dl

第二式的密度和长度都用 SI 单位。天文学 DM 的单位为秒差距每立方厘米。

\Delta t=4.149\,\mathrm{ms}\,\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{pc\,cm^{-3}}}\left[\left(\frac{\nu}{\mathrm{GHz}}\right)^{-2}-\left(\frac{\nu_{\rm ref}}{\mathrm{GHz}}\right)^{-2}\right]

系数已取近似值。频率低于参考频率时，时延为正。

同一个脉冲，四百兆赫比八百兆赫晚到 389 毫秒。假定两个频率同时发射，时间差主要来自冷等离子体色散。选时间差公式，是为了消掉不知道的发射时刻。

把频率化成吉赫兹，两项逆平方相差 4.6875。用 389 除以 4.149，再除以 4.6875，得到 DM 约二十秒差距每立方厘米。如果电子均匀分布在一千秒差距厚的屏内，再把柱密度除以这段长度，得到每立方厘米 0.020 个电子。屏厚换了，推得的密度也会变，时延测出的 DM 则相同。

默认合成探测器采用这组电子柱密度，本征高斯脉冲宽度为六毫秒，六百兆赫的散射长尾为十二毫秒。种子 606 对应采样间隔 1.081 毫秒。按选定的负四次方标度，四百兆赫长尾为 60.75 毫秒。这些是模型输入；下一章再列拟合偏振得到的输出。

\mathrm{DM}=\frac{389}{4.149(0.4^{-2}-0.8^{-2})}\,\mathrm{pc\,cm^{-3}}\simeq20.0\,\mathrm{pc\,cm^{-3}},\qquad n_e=\frac{20}{1000}\,\mathrm{cm^{-3}}

正时延给出正电子柱密度。进一步求密度，还要假定屏均匀并且知道厚度。

可以把输出写成许多个延迟副本之和。响应函数告诉我们，每种额外时延各占多大权重。因果性要求负的额外时延权重为零。无限大、各向同性薄屏配合高斯角分布，会给出单边指数响应。

响应的积分为一，因此收齐整个脉冲时，强度对时间的积分，也就是积分强度，保持不变。额外时延的平均值等于长尾时间尺度。有限观测窗口会漏掉一部分尾巴；保存的样本保留这份损失，程序不会把截短的尾巴重新放大来补面积。

去色散只是把不同频率通道按时延搬齐，无法拆开已经混在每个通道内的多条路径。实验单独指定散射强度：电子柱密度没有提供密度起伏谱和屏几何，还不足以预测长尾。

h(u)=\begin{cases}\tau^{-1}e^{-u/\tau},&u\ge0,\\0,&u<0,\end{cases}\qquad I_{\rm out}(t)=\int_0^\infty I_{\rm in}(t-u)h(u)\,du

u 是绕远路增加的时延。强度用任意单位，响应 h 用每毫秒，输出仍保持强度单位。

\int_0^\infty h(u)du=1,\quad \int_0^\infty uh(u)du=\tau,\quad \tau(\nu)=\tau_{600}\left(\frac{\nu}{600\,\mathrm{MHz}}\right)^{-4}

最后一式是选定的屏模型标度。几何或湍流不同，频率依赖也可能改变。