从电波延迟推到复可见度

先规定天空和基线的方向

把跟踪的方向放在原点。$l$ 向东增加，$m$ 向北增加，都用弧度。两站的位置分别为 $\mathbf r_1$ 和 $\mathbf r_2$，有向基线规定为 $\mathbf b=\mathbf r_2-\mathbf r_1$。把基线投影到东西、南北两个天空方向，再除以波长，得到 $u$ 和 $v$。十亿这个数表示十亿个波长，不是十亿米。

浏览器采用 $1.3\,\mathrm{mm}$ 波长。投影基线若长 $3900\,\mathrm{km}$，就是 $3.00\times10^9$ 个波长。这里必须用投影长度：从接近基线延长线的方向看，地面上很长的距离也会缩得很短。

天文图像常把东放在左边、北放在上边。公式仍然规定向东为正，显示时把像素列倒过来即可。改变傅里叶指数的正负号也会翻转相位信息，那是另一件事。

对应阅读：NRAO Essential Radio Astronomy, Chapter 3, aperture synthesis

一点角度差，怎样变成相位差

相关器先消去指向视场中心时的传播延迟。旁边某个方向还会留下 $b_l l+b_m m$ 的波程差。除以波长，便是相差几个周期；再乘 $2\pi$，便得到弧度。

选定这样的相关约定：跟踪后的第一站信号乘第二站信号的复共轭。通量密度为 $F$ 的点源就贡献下面这个相量。这个约定固定了前向指数里的负号。把基线掉过头，相位变号，可见度也变成原来的复共轭。

对应阅读：NRAO Essential Radio Astronomy, Chapter 3, aperture synthesis

平均以后，为什么可以直接把亮度相加

远处不同发光区域的电场独立起伏。把电场相关并取足够长的平均时，不同区域之间的交叉项消失了。每一小块天空，只留下自己的亮度乘一个相位因子。把所有小块加起来，就得到积分。

令 $I(l,m)$ 为每球面度的谱亮度，单位是央斯基每球面度。小视场里，立体角元近似为 $dl\,dm$。亮度对角度积分以后，可见度的单位就是央斯基。一个央斯基等于 $10^{-26}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,Hz^{-1}}$。

对应阅读：NRAO Essential Radio Astronomy, Chapter 3, aperture synthesis · EHT Collaboration, First M87 Results IV, arXiv:1906.11241v1

用一个点检查符号，用两个点测量尺度

原点以东 $10\,\mu\mathrm{as}$ 放一个 $0.60\,\mathrm{Jy}$ 点源，基线纯东西向，长 $3.00\,\mathrm{G}\lambda$。一微角秒是 $4.8481368\times10^{-12}\,\mathrm{rad}$，代入得到相位约 $-0.914\,\mathrm{rad}$，即 $-52.4^{\circ}$。振幅仍为 $0.60\,\mathrm{Jy}$。点源移动，即使振幅不变，相位也能告诉我们。

再把两个等亮点放在 $+\theta$ 和 $-\theta$，总通量为 $F$。两个相量共轭，虚部抵消，实部相加为余弦。第一个零点出现在 $u=1/(4\theta)$。若 $\theta=15\,\mu\mathrm{as}$，零点约为 $3.44\,\mathrm{G}\lambda$；在当前波长下，对应约 $4470\,\mathrm{km}$。

换成像素时，别多乘一次面积

令 $x_p$ 表示已经积进第 $p$ 个像素的通量，单位是央斯基每像素。前向计算直接把各像素通量乘相量后相加，不能再乘像素面积。如果保存的是每球面度亮度，才需要给每一项补上立体角。

浏览器默认用 $24\times24$ 个像素表示边长 $120\,\mu\mathrm{as}$ 的天空，像素中心间距 $5\,\mu\mathrm{as}$。源先在这张网格上取值，再缩放到总通量 $0.600\,\mathrm{Jy}$。其中的星盘是有限像素星盘，算出的精确离散可见度与连续圆盘解析式会有差别。

成像前先做三次简单检查

先把所有光放到中心一点：每条可见度都应等于总通量，虚部为零。然后把点向东挪：向东的正基线应得到上面算过的负相位。最后把所有基线反向：每个预测值都应变成复共轭。

共轭关系来自天空亮度为实数。把 $(u,v)$ 与 $(-u,-v)$ 配对能让图像为实数，但反向点没有增加独立观测。下一章会区分这种配对与地球自转带来的新基线。

对应阅读：NRAO Essential Radio Astronomy, Chapter 3, aperture synthesis