地球自转与闭合相位

把站点放到球形地球上

采用地心坐标： $X$ 轴指向赤道上零经度， $Y$ 轴指向赤道上东经九十度， $Z$ 轴指向北极。站点纬度为 $\varphi$ ，经度 $L$ 向东为正。教学地球半径为 $R=6.371\times10^6\,\mathrm m$ ，忽略地球扁率和站点海拔。

光源赤纬取 $\delta=12.391123^{\circ}$ 。 $H$ 表示向西为正的格林尼治时角，地球每转一个恒星小时，它大约增加 $15^{\circ}$ 。站点经度已经进入位置向量，当地时角则是 $H+L$ 。分清这两个角，可以避免把经度算两遍。

\mathbf r=R(\cos\varphi\cos L,\;\cos\varphi\sin L,\;\sin\varphi),\qquad \mathbf b_{ij}=\mathbf r_j-\mathbf r_i

先求两站位置，再相减。干涉仪使用穿过空间的直线弦长，沿地表画出的路线长度不进入电磁波程差。

对应阅读：NRAO Essential Radio Astronomy, Chapter 3, aperture synthesis

向天空的东、北两个方向投影

在地固坐标里，光源方向为 $(\cos\delta\cos H,-\cos\delta\sin H,\sin\delta)$ 。向东的单位向量是 $(\sin H,\cos H,0)$ ，向北是 $(-\sin\delta\cos H,\sin\delta\sin H,\cos\delta)$ 。两个方向都垂直光源方向，也彼此垂直。基线分别与它们做点积，就得到天空投影。

基线三个分量记为 $(X,Y,Z)$ ，投影后再除以波长 $\lambda$ ，得到下式。时角改变时，一个采样点通常走过一段椭圆弧。同一对固定望远镜，便能在一夜里测到不止一种条纹。

u=\frac{X\sin H+Y\cos H}{\lambda},\qquad v=\frac{-X\sin\delta\cos H+Y\sin\delta\sin H+Z\cos\delta}{\lambda}

结果以波长为单位。浏览器只保留两台天线都能看见光源、且高度角至少十度的基线。

对应阅读：NRAO Essential Radio Astronomy, Chapter 3, aperture synthesis

天线对、时间采样与共轭点要分开数

有 $n$ 台望远镜时，第一台有 $n$ 种选法，第二台有 $n-1$ 种。反向基线只是复共轭，除以二，独立天线对数便是 $n(n-1)/2$ 。四台组成六对。默认在三小时中取九个时角，六对都在地平线上方时，记录五十四个复数样本。

这只是记录数量，不等于天空有多少参数已经分得清。空间频率平面上靠得很近的点，可能提供接近重复的信息。覆盖图里浅色的反向点来自实亮度的共轭关系，把它们再数一次会夸大观测数量。

阵列还缺少零基线。不同站点之间没有直接给出 $V(0,0)$ 的一对。合成重建另外接收一项理想总功率观测，总通量为 $0.600\,\mathrm{Jy}$ 。真实光源若含延展结构，短基线振幅与紧致源总通量也可能不同。

对应阅读：NRAO Essential Radio Astronomy, Chapter 3, aperture synthesis · EHT Collaboration, First M87 Results IV, arXiv:1906.11241v1

沿三角形绕一圈，站点相位就抵消了

把第 $i$ 站的复增益写成 $g_i=a_i e^{i\alpha_i}$ ， $a_i$ 为正振幅， $\alpha_i$ 为当前相关约定下的站点相位误差。 $i\to j$ 的观测可见度多乘 $g_i g_j^*$ 。沿 $i\to j\to k\to i$ 相乘，每个站点增益都出现两次，一次取共轭、一次不取。

相乘后留下正的增益振幅，站点相位全部消失。取乘积的辐角，就得到闭合相位。三条边必须足够同时，才会共享同一组站点误差。单独附着在某条基线上的误差、偏振泄漏，以及积分期间的变化，仍可能留下不能抵消的部分。

V^{\mathrm{obs}}_{ij}=g_i g_j^*V_{ij},\qquad V^{\mathrm{obs}}_{ij}V^{\mathrm{obs}}_{jk}V^{\mathrm{obs}}_{ki}=a_i^2a_j^2a_k^2V_{ij}V_{jk}V_{ki}

闭合相位等于最右边天空乘积的辐角。直接做复数乘法就能抵消站点相位，不必先猜出每一站的误差。

\Phi_{ijk}=\arg(V_{ij}V_{jk}V_{ki})=\operatorname{wrap}(\phi_{ij}+\phi_{jk}-\phi_{ik})

如果表格最后一条边存的是从 i 到 k，就要取共轭，才能沿 k 到 i 返回。最后把角度折回一个周期，通常使用负一百八十到正一百八十度。

对应阅读：EHT Collaboration, First M87 Results IV, arXiv:1906.11241v1 · EHT 2019-D01-01 M87 data release, pinned commit 27ae76a

算一遍具体的三角形

设 AB、BC、AC 的天空相位分别为 $20^{\circ}$ 、 $50^{\circ}$ 、 $10^{\circ}$ ，有向闭合相位就是 $60^{\circ}$ 。再给 A、B、C 三站加入 $30^{\circ}$ 、 $-40^{\circ}$ 、 $15^{\circ}$ 的误差。三条观测相位变为 $90^{\circ}$ 、 $-5^{\circ}$ 、 $25^{\circ}$ 。前两项相加、减去最后一项，仍为 $60^{\circ}$ 。

把整片天空平移，可见度相位会增加与基线成正比的一项。三条有向基线向量相加为零，平移也会从三角形乘积中消失。闭合相位能读到不对称性，却不能给出绝对位置。中心对称源选好中心后，可见度为实数；离开零点时，闭合相位为零或半个周期。

四台望远镜能画四个三角形，却只有三个独立闭合相位。一般来说，用基线相位数减去独立站点相位差数即可。整体共同相位任意，站点只贡献站点数减一项独立相位差。共用基线的三角形，也会共用一部分噪声。

N_{\mathrm{closure}}=\frac{n(n-1)}2-(n-1)=\frac{(n-1)(n-2)}2

这个计数适用于信号非零、完整连通的一般阵列，不表示所有三角形在统计上独立。

对应阅读：EHT Collaboration, First M87 Results IV, arXiv:1906.11241v1

独立标定源能恢复更多信息

浏览器还保存一个理想的同时观测中心点源：通量已知，只有站点相位误差，而且误差在整段观测里不变。它在每条基线上的真实可见度都是已知实数。把 A 站相位定为零，从连接 A 的标定边求出其他站点相位，再在目标信号中消去相位差，便能恢复无误差的合成复信号。

这是一项特意选得很理想的标定实验。后面的真实 EHT 三角形仍含未知站点相位，教程直接拟合振幅与闭合相位。一个三角形已经能排除许多对称候选形状；要得到完整的二维图像，还得收集更多基线和标定信息。

对应阅读：EHT 2019-D01-01 M87 data release, pinned commit 27ae76a · EHT Collaboration, First M87 Results IV, arXiv:1906.11241v1

像素网格与视场	$24\times24,\quad120\,\mu\mathrm{as}$
中央格林尼治时角	$H=105^{\circ}$
总通量	$F=0.600\,\mathrm{Jy}$
独立复样本数	54
第一组有向闭合相位	$0.287631^{circ}$
平滑偏好信号均方根残差	$7.0408,mathrm{mJy}$
集中偏好信号均方根残差	$5.9340,mathrm{mJy}$