旋转棒怎样交换能量与角动量

先把引力势写清楚

仍取无量纲单位 $R_0=v_0=1$ ，背景势为 $\ln R$ 。加入双重对称的棒势，振幅记为 $A$ ，固定棒半径 $R_b=0.5$ ，棒的方向角为 $\theta_b$ 。正模式速度代表逆时针旋转，满足 $\dot\theta_b=\Omega_p$ 。

棒势在外部按半径的三次方反比减弱。内外表达式在 $R_b$ 处的函数值和一阶导数连续，二阶导数有跳变；交互轨道只在 $R>R_b$ 使用。示踪星感受这份规定引力，自身位置不会反过来重建势场。

\Phi(R,\phi,t)=\ln R+A(t)f(R)\cos[2(\phi-\theta_b(t))],\qquad f(R)=\begin{cases}(R/R_b)^3-2,&R<R_b,\\-(R_b/R)^3,&R\ge R_b.\end{cases}

恢复量纲后，势的单位是速度平方。这里的振幅指定四极势强度，没有据此反演棒质量或求自洽密度。

对应阅读：Dehnen (1999v1/2000), The Effect of the Outer Lindblad Resonance of the Galactic Bar on the Local Stellar Velocity Distribution · Sandbox Physics independent galactic-bar scientific reader v1

沿角度的势差给出力矩

单位质量角动量是 $L_z=xv_y-yv_x=R^2\dot\phi$ 。径向力穿过中心，没有绕中心的力矩。切向力则为 $F_\phi=-(1/R)\partial\Phi/\partial\phi$ ，乘上力臂 $R$ ，得到单位质量力矩 $\tau_z$ 。

余弦对角度求导后变成正弦，因此棒轴前后两侧的力矩符号不同。一颗星在一次相遇中，可能先获得角动量，再失去角动量。最后究竟留下多少，要沿整条轨道把力矩积起来。

\dot L_z=\tau_z=-\frac{\partial\Phi}{\partial\phi}=2Af(R)\sin[2(\phi-\theta_b)]

这个正负号对应前面约定的逆时针正方向。单位质量力矩的单位是速度平方。

对应阅读：Sellwood & Binney (2002), Radial mixing in galactic discs, astro-ph/0203510v2

引力势随时间移动，也会做功

恒星的单位质量能量为 $E=|\boldsymbol v|^2/2+\Phi$ 。沿真实运动求导，动能给出 $\boldsymbol v\cdot\dot{\boldsymbol v}$ ，势的空间变化给出 $\boldsymbol v\cdot\nabla\Phi$ 。代入牛顿方程，这两项恰好相消，剩下势本身显式随时间变化的一项。

若势只是固定形状地旋转，能量变化率就是 $\Omega_p\tau_z$ 。例如固定 $\Omega_p=1.2$ ，一颗星增加 $\Delta L_z=0.05$ ，它的能量就增加 $\Delta E=0.06$ 。能量本身并不守恒。

两种变化相减，得到守恒的组合，称为Jacobi积分。它的用处在于把两种独立可读的运动量联系起来；使用前先确认图案确实满足固定条件。

\dot E=\frac{\partial\Phi}{\partial t}=\Omega_p\tau_z,\qquad E_J=E-\Omega_pL_z,\qquad \Delta E=\Omega_p\Delta L_z

后两个关系要求单一图案刚性旋转，而且振幅与模式速度都不变。

对应阅读：Sellwood & Binney (2002), Radial mixing in galactic discs, astro-ph/0203510v2

把守恒量换成随棒坐标

随棒观察者测到的速度与惯性速度不同，在同一点相差 $\boldsymbol\Omega_p\times\boldsymbol r$ 。把速度关系代回惯性能量，再减去 $\Omega_pL_z$ ，交叉项相消，留下随棒动能与一份有效势。

多出来的负离心项来自参考系变化，不是新加了一份引力质量。在固定Jacobi值下，如果某处有效势比这个值更高，就没有实数随棒速度能到达那里。这能判断允许区域，却还不能决定区域内部的实际轨道。

随棒运动方程还有科里奥利力，它与随棒速度垂直，只转动速度方向，不做功。读随棒轨道图时，把这种参考系效应与真实引力分开，才知道每根力箭头该代表什么。

E_J=\frac{u^2+v^2}{2}+\Phi_{\rm eff},\qquad \Phi_{\rm eff}=\Phi-\frac{\Omega_p^2R^2}{2}

这里只对角速度固定的刚性旋转参考系使用。

u,v

是随棒坐标速度，不是正则动量。

对应阅读：Sellwood & Binney (2002), Radial mixing in galactic discs, astro-ph/0203510v2 · Sandbox Physics independent galactic-bar scientific reader v1

棒增长或减速时，多出来的功不能漏

振幅增长时，势的时间导数还含有 $\dot A f\cos[2(\phi-\theta_b)]$ 。若模式速度也变，给 $E-\Omega_pL_z$ 求导又会出现 $-\dot\Omega_pL_z$ 。两项都必须保留。

读者程序给出一个可算的增长例子：在八个时间单位内，把 $A$ 平滑地从零升到 $0.04$ ，保持 $\Omega_p=1$ 。十个测试初态中，最大的Jacobi变化约为 $0.006897$ ；独立积分显式振幅功以后，与这项变化的差只有约 $2.6\times10^{-12}$ 。若强行要求它守恒，反而会误判正确轨道。

交互实验改变物理输入时，会从同一批初态重新计算一段历史。拖慢模式速度，并非已经模拟棒的减速过程。要研究真实减速，必须指定完整的时间变化，再处理相应能量与角动量交换。

\frac{d}{dt}(E-\Omega_pL_z)=\dot A f(R)\cos[2(\phi-\theta_b)]-\dot\Omega_p L_z

这里没有再加入随时间变化的背景势。真实活星系中，棒与暗晕的角动量交换还要由各部分动力学共同决定。

独立增长计算中，Jacobi变化与显式振幅功积分相符。 — 自有规定增长例子，图从保存的十星参考轨道读取。紫线是Jacobi量的变化，虚线是显式振幅功的时间积分。

对应阅读：Sandbox Physics independent galactic-bar scientific reader v1 · Chiba, Fujii, Baba, Dubinski & Schönrich (2026), Tree-ring structure of Galactic bar resonance in N-body simulations, arXiv:2604.01294v1

角动量变化为什么能让星换一个绕行半径

在轴对称、平坦圆轨道速率的参考中，圆轨道满足 $L_z=R_gv_0$ ，于是 $R_g=L_z/v_0$ 可以作为导引中心半径。它给轨道一个参考标签，不等于恒星此刻离中心的距离。

近圆轨道能量可以写成圆轨道能量加径向振动能量。圆轨道能量随角动量变化的斜率为 $dE_c/dL_z=\Omega$ 。再用固定图案给出的能量交换关系，就有一阶近似 $\Delta(E-E_c)\simeq(\Omega_p-\Omega)\Delta L_z$ 。

共转处，这项一阶径向加热代价为零，恒星便能改变导引中心半径，同时只增加较少径向摆动。远离共转时，交换通常伴随更多加热。短暂波消退以后，可以留下持续的半径变化；若扰动一直存在，恒星还可能在后续运动中返回。

dE=\Omega\,dL_z+\kappa\,dJ_R,\qquad \Delta J_R\simeq\frac{\Omega_p-\Omega}{\kappa}\Delta L_z

近圆极限下，径向作用量等于径向振动能量除以其频率。后式结合了固定图案交换关系，只是一阶局部论证；增长、消退的波仍需处理显式时间变化。

对应阅读：Sellwood & Binney (2002), Radial mixing in galactic discs, astro-ph/0203510v2

旋转棒怎样交换能量与角动量

先把引力势写清楚

沿角度的势差给出力矩

引力势随时间移动，也会做功

把守恒量换成随棒坐标

棒增长或减速时，多出来的功不能漏

角动量变化为什么能让星换一个绕行半径

练习与解释性答案

动手检验预测

沿一次完整相遇看力矩的结果

来源与计算范围