差动旋转与轨道共振

先定好方向与时间单位

在右手平面上取坐标 $x,y$，方位角 $\phi$ 逆时针增加。半径 $R$ 是到中心的距离。恒星沿圆周的切向速度记作 $v_\phi$，每秒转过的角度则是角速度 $\Omega=d\phi/dt=v_\phi/R$。角速度的单位是时间的倒数。

选定长度 $R_0$ 和速度 $v_0$，时间单位便是 $R_0/v_0$。数值计算把两个尺度都取为一。此时模式速度为一，指的是 $v_0/R_0$，并非每个时间单位转一整圈；一整圈有 $2\pi$ 弧度。

对应阅读：Dehnen (1999v1/2000), The Effect of the Outer Lindblad Resonance of the Galactic Bar on the Local Stellar Velocity Distribution · Sandbox Physics independent galactic-bar scientific reader v1

一条由固定成员组成的线会绕紧

让两颗星从同一个方位角出发，分别在 $R_0$ 与 $2R_0$ 处走圆轨道。经过 $2\pi R_0/v_0$，内圈走完一圈，外圈只走完半圈。起初连着它们的径向线，已经被拉出 $\pi$ 的角度差。

刚性旋转图案的规则不同：相同时间里，整幅图案各处转过相同角度。集体引力起伏可以带着这样的模式速度传播，组成它的恒星却有各自的绕行速度。短暂旋臂也可能边绕边变。先固定一个模式，能把两种运动清楚地分开。

对应阅读：Sellwood & Binney (2002), Radial mixing in galactic discs, astro-ph/0203510v2

在随图案转动的视角数相遇次数

让坐标系以模式速度 $\Omega_p$ 转动，恒星的新方位角就是 $\phi'=\phi-\Omega_pt$。近圆轨道上，它每秒改变 $\Omega-\Omega_p$。若图案有 $m$ 条等价臂，恒星相对走过 $2\pi/m$ 就又遇到一条臂。

做一个完整算例。取双重对称图案，$\Omega_p=1$。在 $R=0.8$，圆轨道角速度是 $1.25$，相对角速度为 $0.25$，相遇间隔便是 $4\pi\simeq12.57$。换到 $R=1.2$，相对角速度为 $-1/6$，图案从后面赶过恒星，相遇间隔是 $6\pi\simeq18.85$。

在共转处，圆轨道参考的相遇时间趋于无穷。受扰动的真实恒星可能在图案附近来回摆动，称为天平动。它是否真的被俘获，还要解轨道；相遇很慢本身不能代替这一步。

对应阅读：Dehnen (1999v1/2000), The Effect of the Outer Lindblad Resonance of the Galactic Bar on the Local Stellar Velocity Distribution

轻轻向外推一下，恒星还会径向摆动

这一步先拿掉棒。平坦圆轨道速率对应引力势 $\Phi_0=v_0^2\ln(R/R_0)$。以下能量都按单位质量计。轴对称引力保留单位质量角动量 $L_z$，径向运动便可以用有效势 $U=\Phi_0+L_z^2/(2R^2)$ 描述；第二项来自切向运动。

圆轨道半径记为 $R_c$。在这里，有效势一阶导数为零，且 $L_z=R_cv_0$。把恒星稍微移开 $\delta R$，最低阶回复力等于有效势的曲率乘位移，再加负号。对有效势求两次导数，代入圆轨道条件，得到 $U''(R_c)=2v_0^2/R_c^2$。

这个小振动叫本轮运动，频率 $\kappa$ 是圆轨道角速度的 $\sqrt2$ 倍。独立读者程序在 $R_c=1.3R_0$ 给恒星一个 $10^{-4}v_0$ 的径向速度，再从相邻两次径向最大值（远心点）量周期，得到 $\kappa\simeq1.08785658\,v_0/R_0$。

一般的本轮频率式也来自同一步。圆轨道的径向引力条件为 $\Phi'_0=R\Omega^2$，再求一次导数得到 $\Phi''_0=\Omega^2+R\,d\Omega^2/dR$。有效势中的角动量项，在圆轨道处另贡献 $3\Omega^2$，相加就是下面的表达式。

这里给的是角频率，一次径向小振动需要 $2\pi/\kappa$，不是 $1/\kappa$。频率平方为正，代表这一局部径向近似存在回复振动；有限棒势会把径向和方位运动耦合起来，因此圆轨道频率只是研究共振的起点。

对应阅读：Sellwood & Binney (2002), Radial mixing in galactic discs, astro-ph/0203510v2 · Sandbox Physics independent galactic-bar scientific reader v1

把相遇频率与径向频率放在一起

双重对称扰动沿圆轨道重复的频率为 $2|\Omega-\Omega_p|$。它若等于 $\kappa$，每次径向拉扯就可能遇到本轮运动的相同阶段。内外Lindblad共振的圆轨道参考位置，由下面两个带正负号的方程决定。

取 $R_0=v_0=\Omega_p=1$，得到 $R_{\rm ILR}=1-1/\sqrt2\simeq0.2929$、$R_{\rm CR}=1$、$R_{\rm OLR}=1+1/\sqrt2\simeq1.7071$。交互实验只接受整条轨道始终在 $R=0.5$ 以外的结果，因此内Lindblad参考圆不在这条计算范围内。

这些位置来自线性、近圆近似。有限强度的棒会改变频率，并形成有宽度的共振区域。参考圆能帮助定位，真实俘获的边界仍要从非线性轨道判断。

对应阅读：Dehnen (1999v1/2000), The Effect of the Outer Lindblad Resonance of the Galactic Bar on the Local Stellar Velocity Distribution · Sellwood & Binney (2002), Radial mixing in galactic discs, astro-ph/0203510v2