周期轨道与恒星径向迁移

释放一批星，与解出周期轨道是两种问题

交互实验从八个环释放示踪星，每环十六个方位，每处各放正负两种径向速度。每个样本权重都是二百五十六分之一。冷释放时，正负两种速度相同，因此实际有一百二十八个不同位置。这便于比较规定引力下的响应，起点没有被构造成平衡分布函数。

我们对四个惯性坐标 $(x,y,v_x,v_y)$ 积分 $8\pi$ 个时间单位。每一步先改半步速度，再推进位置，最后补上半步速度，这就是KDK跃蛙法。把步长减半后比较整段历史，可以发现只看末态能量遗漏的轨迹偏差。

细网格保存二百五十七帧。中细差除以三，是二阶方法进入收敛区以后的误差估计；另一种高阶自适应积分法DOP853和解析极限，提供另外的比较。每次真实漂移都检查半径，内侧穿越发生在两帧之间也会被发现。

对应阅读：Sandbox Physics independent galactic-bar scientific reader v1

借对称性，把返回问题缩成一个零点

固定 $A=0.01$、$\Omega_p=1$、$R_b=0.5$。在随棒坐标中，从 $(x,y,u,v)=(a,0,0,w)$ 出发；$u,v$ 是随棒坐标的变化率。这一组位于共转外侧的星，初始 $w$ 为负。沿轨道等到第一次从下向上穿过负 $x$ 侧的 $y=0$，检查此时 $u$ 是否为零。

返回速度随 $w$ 变化。先给出一段两端异号的区间，再求返回速度为零的初始值。利用反射对称，完整周期应是这段返回时间的两倍；随后仍要真正积完一整圈，检查四个状态量是否都回来。

以 $a=1.45$ 为例，新解得到 $w=-0.4483214884$，完整周期 $20.13125220$。初始惯性切向速度其实是 $w+\Omega_pa\simeq1.001678512$，不要误把负的随棒速度当成恒星在惯性系中反转。整周期参考返回误差小于 $10^{-9}$。

对应阅读：Dehnen (1999v1/2000), The Effect of the Outer Lindblad Resonance of the Galactic Bar on the Local Stellar Velocity Distribution · Sandbox Physics independent galactic-bar scientific reader v1

这些母轨道只比圆稍微扁一点

读者程序重新求出 $a=1.44,1.45,1.46$ 的三个邻近母轨道，以及 $a=1.89,1.90,1.91$ 的另外三个。内侧一组沿垂直棒轴方向略长，外侧一组沿平行棒轴方向略长；它们都在共转外侧，分别位于圆轨道外Lindblad参考位置的两边。

轨道离圆很近。另画半径变化，就能看见可量的响应，不必把真实轨道拉成夸张椭圆。六个解给出两处局部样本，没有穿过共振连续追踪整条分岔，也没有据图形给它们套上文献中的标准轨道族名称。

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轻轻挪开一点，才能谈线性响应

先固定Jacobi值，扣除只让恒星沿同一轨道早到或晚到的相位差，再看剩下的微小偏移：它是一圈圈放大，还是在局部来回摆动？后者在线性近似下称为椭圆型。在母轨道的初态上加一个极小位移，走完一个母轨道周期。在线性近似下，矩阵 $M$ 把初始偏移映到最终偏移；它的特征值告诉我们，这些小偏移是逐周期放大，还是主要改变相位。

正则变量，是让运动满足标准哈密顿方程的一组成对坐标和动量。运动会保持这些成对变量之间的有向面积结构，称为辛结构。检查它是在检验线性映射应有的性质，特征值则另回答小扰动是否增长。 这是正则坐标下的技术几何检查，要求比单纯体积守恒更强。

把原运动方程对微小偏移展开，只留一阶项，就得到变分方程。读者程序分别用变分方程，以及正负微小位移后的独立积分来求这个映射。检查哈密顿辛结构前，要把随棒速度换成正则动量 $(p_x,p_y)=(u-\Omega_py,v+\Omega_px)$；随棒速度本身不是正则动量。

两个基准母轨道的非平凡特征值对都在单位圆上，并远离实轴端点，理论上为一的平凡特征值对也单独核对过。这支持固定Jacobi截面、去除相位方向后的线性椭圆型判断。有限扰动的非线性行为仍可能不同，另外四个邻轨没有继承这项稳定性标签。

对应阅读：Sandbox Physics independent galactic-bar scientific reader v1

向外走，与换一个导引半径不同

在轴对称势里，恒星可以不断向内、向外摆动，而 $L_z$ 不变，导引半径也不变。棒或旋臂施加力矩时，$L_z$ 才可能一同变化。

读者保存的示踪星群中，一个例子从参考导引半径 $R_g=1$ 出发，到末态有 $\Delta L_z\simeq-0.0596448$。取 $v_0=1$，末态参考导引半径就是 $0.9403552$。这是棒持续存在期间的一次首末比较，之后还可能继续交换。

Sellwood与Binney的短暂旋臂实验多走了一步。共转附近的星能相对波形走出马蹄状交换；若扰动一直存在，后续半程可能又把角动量换回去。旋臂若在交换过程中消退，恒星就可能把改变后的导引半径保留下来。一连串这样的事件，会把不同出生半径的恒星混在一起。

对应阅读：Sellwood & Binney (2002), Radial mixing in galactic discs, astro-ph/0203510v2 · Sandbox Physics independent galactic-bar scientific reader v1

研究哪段历史，就解哪段历史

固定外棒势适合隔离引力、参考系和周期返回。增长或消退的旋臂需要完整时间历史；逐渐减速的活棒，还会与周围星盘和暗晕交换角动量。

2026年前沿研究中，向外移动的共转共振能带走部分被俘获恒星，并保留一些捕获顺序。它们的慢共振角在一个区域内来回摆动；这里六条周期母轨道的相对角度则绕棒走完一圈。两类问题都涉及共振，问的却是不同的相空间运动。

对应阅读：Sellwood & Binney (2002), Radial mixing in galactic discs, astro-ph/0203510v2 · Chiba, Fujii, Baba, Dubinski & Schönrich (2026), Tree-ring structure of Galactic bar resonance in N-body simulations, arXiv:2604.01294v1