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Sandbox Physics
从恒星眩光读到伴星光谱

L3 · 直接成像

提取光谱时把误差一起带回来

Sandbox Physics ·

提取光谱就是寻找一组源对比度，让它经过响应矩阵后解释处理图像。能测准多少，取决于哪些颜色组合保留下来、源位置知道多准，以及噪声怎样估计。

拟合真正测到的颜色组合

把五个处理孔径计数排成向量，逐波段注入得到五列响应。响应矩阵乘一组对比度，便预测这些测量。再添一个局部公共背景向量，因为减除残差在星周围仍可能有非零均值。

比较孔径估计这个背景。若公共协方差已知、比较区独立，扣去其均值便消除了未知背景，同时增加均值估计的方差；这也等价于联合高斯模型里对公共背景取最佳值。实际环带只近似这些条件，还要用重复采样检验。

先看一个两波段算例：各自保留自身光源，却扣去另一波段的一半。真实对比度都为一时，输出都只有二分之一。仅除对角响应仍会报成二分之一，解完整耦合方程才能找回一。这个无量纲算例与五波段采样数据分别标记。

y=Ac+b+ϵ,Cdiff=(1+1/nref)Cring+Csource\boldsymbol y=A\boldsymbol c+\boldsymbol b+\boldsymbol\epsilon,\qquad C_{\rm diff}=(1+1/n_{\rm ref})C_{\rm ring}+C_{\rm source}
响应把无量纲对比度换成测量计数；比较区数按分辨区域计算，不按像素计算。源自身的光子噪声不在无源比较区里。
(1−1/2−1/21)(11)=(1/21/2)\begin{pmatrix}1&-1/2\\-1/2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/2\\1/2\end{pmatrix}
非对角混合会改变公共光谱亮度，哪怕各对角响应看起来很简单。

对应阅读：Pueyo · Greco & Brandt

有些光谱组合更容易测

协方差记录哪些涨落一起走。两个通道方差都为一、相关系数为零点八时，公共亮度方向的协方差本征值是一点八，差值方向是零点二。宽谱整体升高与颜色差异需要不同噪声权重。

响应也有自己的强弱方向。奇异值描述独立输入组合映到测量后有多强。保存的角差加谱差矩阵，奇异值约从七十点六万到四百六十三万电子每单位对比度；最弱组合仍能测，但透射弱得多。

总视场转角为零时，均值角差叠加图的源响应为零。求逆不能恢复已经删除的信息，应报告秩失效。添加数值平滑项会给出好看的谱线，同时也加入了额外假设。

∂χ2∂c=−2ATC−1(y−bˉ−Ac)=0\frac{\partial\chi^2}{\partial\boldsymbol c}=-2A^{\mathsf T}C^{-1}(\boldsymbol y-\bar{\boldsymbol b}-A\boldsymbol c)=0
协方差固定时，展开二次残差，对每个对比度求导并令导数为零，把模型项移到另一侧，就得到下面求解的正规方程。
c^=(ATC−1A)−1ATC−1(y−bˉ)\widehat{\boldsymbol c}=(A^{\mathsf T}C^{-1}A)^{-1}A^{\mathsf T}C^{-1}(\boldsymbol y-\bar{\boldsymbol b})
这是固定响应、正定协方差下无正值约束的广义最小二乘。负通道估计保留；正规矩阵奇异时拒绝求逆。
五乘五测量光谱响应，对角为正，非对角为负。
同一合成角差谱差采样的五波段测量响应，除以恒星入射计数归一；行是输出，列是独立注入输入，负非对角项表示光谱减除。

对应阅读：Pueyo · Greco & Brandt

让位置与亮度彼此竞争

PSF 放偏一点，有时很像亮度改了一点。每波段只有一个孔径和时，五个测量配五个自由对比度，残差自由度为零，很难看出这种混淆。要检查图像形状，就增加空间测量。

保存的位置计算每波段取三个量：中心孔径、径向孔径差和切向孔径差，一共十五个。每个试探位置都重新传播点源场，逐波段注入并重跑处理，再拟合五个对比度。余下残差便能检查总流量以外的结构。

比较区提供完整十五维空间光谱协方差。默认几何避开伴星及其角差负瓣后只剩十七区，去均值后最多十六个样本方向。十五维满秩虽然可能，条目却仍不稳定：六十四次角差重复采样里，比较协方差条件数中位约七万，最大超过九百万。

条件数是最大协方差本征值与最小本征值之比，越大越容易在求逆时放大弱方向的误差。每个位置保留最佳对比度，就得到位置剖面，可以看位置与光谱怎样互相补偿。保存的九点粗网格用于局部诊断；精细定位区间还需要更密网格和覆盖检验。

对应阅读：Pueyo · Greco & Brandt · Mawet et al.

别漏掉伴星自己的光子噪声

无源环带能估计残余光晕涨落，却没有伴星光子。亮伴星还要添自己的光子噪声。默认空间拟合若漏掉这项，十个残差维度的二次残差约为三百二十五；独立复算也保存了这次失败。

均值角差、谱差可以沿实际插值和减除逆向求权重，算清每个原像素怎样进入每个输出测量。把权重两两相乘，再乘源光子方差求和，便得到完整源协方差。谱差让不同输出通道共用输入计数，也会带来跨通道项。方差采用拟合出的非负源强度，报告的对比度本身仍允许为负。

补入后，默认空间拟合的二次残差约为五点四二。这只检验了一套条件模型。数据依赖 KLIP 还要在源光子重采样时重新学习基，独立完整采样时重新估比较协方差；固定基的线性传播不会自动包含这些变化。

(Csource)ij=∑tℓpwi,tℓpwj,tℓpμsource,tℓp(C_{\rm source})_{ij}=\sum_{t\ell p}w_{i,t\ell p}w_{j,t\ell p}\mu_{{\rm source},t\ell p}
对固定线性数值算子，权重由其转置作用于输出测量得到。这是采用给定源强度时的条件源光子方差传播。学习 KL 基与估计比较协方差另带来不确定性，由完整重复采样检验。

对应阅读：Greco & Brandt · Pueyo

写清正在取最佳值的似然

多元高斯密度除了残差惩罚，还包含归一项，归一项依赖协方差行列式。若噪声随源流量或位置改变，行列式也要跟着变；只压低加权残差，会偏爱被放大的噪声。

局部计算先从初次流量拟合估源光子协方差，再把合并协方差固定在整张位置网格上。保存的工作高斯似然包含行列式项；它在这张网格里是常数。这是一张采用给定协方差的条件剖面。若优化时同步更新流量依赖噪声，就必须逐点更新行列式。

后验还需指定先验，并对干扰量积分；剖面则保留各处最佳值。弱响应方向和非负流量边缘附近，两者尤其可能不同。

−2log⁡L=rTC−1r+log⁡det⁡C+mlog⁡(2π)-2\log L=\boldsymbol r^{\mathsf T}C^{-1}\boldsymbol r+\log\det C+m\log(2\pi)
残差为测量减模型，测量维数为 m；所有网格点保持相同计数单位和密度约定。

对应阅读：Greco & Brandt · Pueyo

让重复采样检查误差

每次从同一光学期望重新抽泊松计数与读出噪声，再重做图像处理、避开同一几何源弧、估计比较协方差并拟合空间光谱。这里知道源输入，就能看名义标准误区间盖住真值多少次。

下表按波长顺序列出覆盖次数：角差与谱差加角差各做六十四次完整采样，KLIP 做二十四次。理想已知协方差高斯问题里，一个标准误约应覆盖百分之六十八。实验保留了涨落、稀疏协方差误差及给定光晕，没有新生成一套真实大气。

更细的位置网格间隔为零点零零一个参考角单位，又暴露了粗图看不到的限制：角差六十四次里二十二次最优值到边缘，角差谱差为三十一次；二十四次 KLIP 中有十五次到边缘。边缘最优值提示继续扩大搜索；定位区间另需覆盖检验。

某些通道覆盖不足，解释窄谱结构时就要格外留意。这套误差有用，但名义区间尚非自动校准的区间。再让一种 PSF 产生光、用另一种去拟合，可以检查模板失配；增加噪声重复次数修不好错用的光学模板。

处理方法一个标准误内次数两个标准误内次数
均值角差，64 次48、44、41、38、3964、62、57、61、56
谱差加角差，64 次44、46、35、43、3463、60、60、61、61
数据依赖 KLIP，24 次11、15、8、12、1119、22、23、19、18

对应阅读：Greco & Brandt · Mawet et al.

把局部涨落与盲搜分开

局部 Student 统计量把一个孔径与有限参考样本比较。只有五个独立高斯参考值时，统计量达到五的单侧尾概率约为零点零零三七五，远高于常见的大样本高斯值；相关散斑还会改变分布。

搜很多位置、尝试多个减除阶数，又增加了碰到大涨落的机会。零假设实验重复完整的位置与方法选择，保存每次全场最大值。有限次实验一次也没超过，只能给上限，不能报零概率。

把恢复出的组合、响应、噪声假设与实际失败一起交代，下一次观测才知道该增加转角、改善 PSF，还是延长序列。

t=x−xˉrefsref1+1/nref,ν=nref−1t=\frac{x-\bar x_{\rm ref}}{s_{\rm ref}\sqrt{1+1/n_{\rm ref}}},\qquad\nu=n_{\rm ref}-1
名义 Student 分布假设独立、等方差高斯分辨单元，自由度按独立参考单元数减一计算。

对应阅读：Mawet et al. · Greco & Brandt

亲手观察

一起看光谱和弱响应方向

  1. 比较五波段光谱、给定虚线输入及完整响应矩阵。
  2. 把总转角减到零附近，用均值角差方程解释辨识提示。
  3. 比较散斑干扰预设与默认值，说明判断来自谱形还是误差大小。

练习与答案

五个自由通道对比度拟合五个孔径和，残差几乎为零，说明什么？

只要方阵响应可逆，就能恰好拟合五个数，哪怕 PSF 不好或数据噪声很大。这检查了代数求解，未检查拟合优度；应加入空间测量或留出数据再看残差。

十七个比较区得到十五维满秩协方差，足以相信窄区间吗？

满秩只允许求逆，没说明小本征值估得多准。去均值后仅十六个样本方向，矩阵可以病态。重复采样覆盖、比较区选择敏感性及 PSF 失配能直接检验区间。

流量变化时噪声方差跟着变，却省去行列式项，怎样检查后果？

在相同流量网格比较完整高斯似然和仅含残差的目标。放大方差会减小残差惩罚，却把概率摊得更宽；对数行列式负责补上这份归一。

六十四次零假设实验都未超过所选峰，单侧百分之九十五二项上限是多少？

由 (1−p)64=0.05(1-p)^{64}=0.05 得 p<1−0.051/64≃0.0457p<1-0.05^{1/64}\simeq0.0457。上限限定于所模拟总体与选择；这样的实验次数只够辨认百分比量级发生率。

来源与计算范围

  1. Pueyo, Detection and Characterization of Exoplanets Using Projections on Karhunen–Loève Eigenimages (2016)

    固定 v1，第二点一至二点五、第三点一至三点三、第四点一至四点二节；附录 E 的 E18/E20 和附录 F 的 F8–F12。光源污染会改变参考基；文中 J 波段示例采用合成注入。

  2. Mawet et al., Fundamental Limitations of High Contrast Imaging Set by Small Sample Statistics (2014)

    固定 v1，第三点一至三点三、第四点一节及公式七至十：先看分辨单元数量和分布假设，再把统计量换成尾概率。

  3. Greco & Brandt, The Measurement, Treatment, and Impact of Spectral Covariance and Bayesian Priors in Integral-Field Spectroscopy of Exoplanets (2016)

    固定 v1，第二节公式一至六、第三点一至三点二节公式七至八：光谱协方差怎样改变宽谱结构的权重。

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