从瞳孔光波走到相机计数

先选定天空和像素的方向

把恒星方向定为原点，相机横坐标向右、纵坐标向上。光源位置先用尚未发生视场旋转的天空方向表示。图像数组却从上面第一行开始存，行号增大的方向与纵坐标正向相反。两种方向都要在旋转前说清。

望远镜有一个自然角标尺：波长除以瞳孔直径。两者都是长度，相除得到以弧度表示的小角。八米瞳孔、参考波长一点二四微米，对应约三十二毫角秒。一毫角秒是一角秒的千分之一，一度包含三千六百角秒。

教学相机每像素占四分之一个参考角单位，八十个像素横跨二十单位。换波长时，相机的天角像素保持不动，改变的是落在其上的光学图像。光源角距也始终使用同一个参考标尺。

\theta_{\rm ref}=\lambda_{\rm ref}/D=1.55\times10^{-7}\,\mathrm{rad}\simeq31.97\,\mathrm{mas}

每像素约为七点九九毫角秒。合成仪器中角距五个参考单位，约为一百六十毫角秒。

对应阅读：Marois et al. · Bonnefoy et al.

先保留相位，再把光波相加

同一种颜色的光波，到达时可以相差一部分周期。相位记录这份早晚差。复振幅用两个分量保存波强与相位：一个取余弦，一个取正弦。虚数单位负责记录第二个分量，并没有添加一个空间方向。

瞳孔位置是以米表示的二维坐标，光源方向是以弧度表示的小角向量。对应分量相乘再相加，得到点积；倾斜入射让各处多走的路程等于这份点积。光学误差又添上一段光程。用总光程除以波长，就得到相差多少个周期，再乘完整一周便是相位。

圆孔内的瞳孔透射为一，孔外为零。给定的静态光程图案在实际离散瞳孔上均方根为二十纳米，对参考波长约是十分之一弧度的相位误差。另一幅给定图案随曝光演化。这里直接规定残余光程，没有求解大气或自适应光学控制。

E_{\lambda,t}(\boldsymbol r;\boldsymbol\theta)=P(\boldsymbol r)\exp\!\left[\frac{2\pi i}{\lambda}\left(W_t(\boldsymbol r)+\boldsymbol r\cdot\boldsymbol\theta\right)\right]

瞳孔坐标和光程误差都是长度，相位无量纲。光源角度让入射波在瞳孔上倾斜。

I(\boldsymbol\alpha)=|\mathcal C_\lambda[E](\boldsymbol\alpha)|^2

线性传播依次经过傅里叶变换、焦面遮挡、瞳孔重成像、Lyot 光阑和最终傅里叶变换。到最后才取振幅模平方。

对应阅读：Soummer · Pueyo

按进入仪器的光归一

傅里叶变换把瞳孔各处的波连同相位一起相加。离散归一要与总光功率一致；独立 NumPy 变换检查了这个约定。连续三次正向透镜变换会翻转最终图像，命名探测器方向时已经计入这次反转。

把最终强度除以清晰入瞳的光子归一，得到每个相机像素接收的入射光子比例。各像素加起来可以小于一，因为遮挡、Lyot 光阑和有限相机都损失了光。若再按透射总和归一成一，想测量的损失就被抹掉了。

连续的瞳孔、焦面遮挡和 Lyot 光阑都有清楚的圆边界。数值计算先求圆与每个单元相交的精确面积，再近似单元内复振幅不变。五百一十二点变换、六十四采样瞳孔另与独立细网格比较：角距不小于三个参考单位的九十六个参数角点中，孔径通量最大修正约为百分之零点零三六。默认完整序列的光谱校准改变量小于所报统计标准误的零点零五倍。更靠近遮挡时，相机仍显示光源怎样消失，光谱推断则暂停。

恒星和伴星各自在瞳孔上形成相干波，但彼此的光学相位在曝光期间没有固定关系，时间平均后的强度直接相加。若先把两个源的振幅相加，就会给独立天体编出干涉条纹。

p_{\star,t\ell p}+c_\ell p_{{\rm s},t\ell p},\qquad\sum_p p_{{\rm s},t\ell p}\leq1

各相机 PSF 都按同一入瞳归一。对比度比较窄波段内源与恒星的入射光子数；总和保留光学与相机视场损失。

对应阅读：Soummer · Bonnefoy et al.

先把一个颜色区间积起来

光谱通道接收一小段波长；把许多很窄的波长段贡献相加，就是这里的积分。能量谱密度描述单位波长的能量，再除以单个光子的能量，才得到光子数。波长越长，单个光子能量越低，光子加权便多出一个波长因子。模拟在每个宽零点零二微米的矩形波段内取平坦能量谱，伴星对比度也在段内取常数。

波段积分采用三个 Gauss 点，并与五点结果比较。每波段、每曝光采用三千万个潜在光电子，教学约定量子效率为一。这个数已经包含波段积分，后面不能再乘一次波长因子。

原生傅里叶焦面采样随波长缩放，相机接收的天角像素却保持不变。计算在每像素内的四个高斯节点插值复振幅，取模平方，再把强度加权相加；面积因子把原生采样换成相机面积。相同表面亮度落进不同大小的桶，每桶光子数也会不同。

\bar p_{t\ell p}=\frac{\int_\ell T_\ell F_\lambda\lambda p_{t\lambda p}\,d\lambda}{\int_\ell T_\ell F_\lambda\lambda\,d\lambda}

普朗克常数和光速组成的公共因子在分子分母中抵消；矩形透射函数规定波段。归一后的 PSF 表示每像素光子比例。

对应阅读：Bonnefoy et al. · Samland et al.

例题：数一数默认曝光的光

看默认合成序列的第一个波段。入射对比度为零点零零二，恒星三千万光子等价量便对应伴星六万个入射光子。离轴源模型约有三分之二落进有限相机，约四万个光电子分散在整个 PSF 上。

每像素另有五个背景电子。先按总期望抽一次泊松计数，再添标准差为两个电子的独立读出噪声。固定曝光内若光子独立到达，泊松分布描述计数涨落，方差等于期望，读出方差再加四。伴星自身也有光子噪声，比较环没有伴星，不会自动替它估出来。

固定种子保存了一次具体采样。换噪声种子后，光学期望不变，像素计数与提取光谱会变；第三章就用这种重复采样检查误差。

\mu=N_\star(\bar p_\star+c_\ell\bar p_{\rm s})+b,\qquad\operatorname{Var}(D)=\mu+\sigma_{\rm r}^2

计数以每像素、每曝光的电子数表示。十八次曝光各一秒，间隔两分钟；合成相机忽略曝光内部的视场转动模糊。

保存的默认输入	数值	含义
参考波长	1.24 微米	固定天角标尺
瞳孔直径	8 米	圆形入瞳
恒星光子等价量	每波段三千万	日冕仪损失之前
首波段对比度	0.002	六万入射光子
读出噪声	2 电子均方根	逐像素独立
噪声种子	22022	一次保存的合成采样

对应阅读：Bonnefoy et al. · Greco & Brandt

从瞳孔光波走到相机计数

先选定天空和像素的方向

先保留相位，再把光波相加

按进入仪器的光归一

先把一个颜色区间积起来

例题：数一数默认曝光的光

亲手观察

把共轭光学面与采样相机连起来

练习与答案

来源与计算范围