把光子和轴子看成两个会混合的态

需要的数学是复指数、二阶对称矩阵和它的本征值。全章用自然单位，把约化普朗克常数和光速都取作一，于是能量、长度的倒数和质量都用电子伏特计量。最后再换算成千秒差距。

一种偏振满足的方程

光束沿 $z$ 方向前进，能量为 $E$ 。只有垂直于光束的磁场分量 $B_\perp$ 能让光子和轴子混合，而且只有沿这个分量的那种光子偏振参与。把它的振幅记作 $A_\parallel$ ，轴子振幅记作 $a$ 。另一种偏振 $A_\perp$ 只积累相位。

当能量远大于轴子质量和等离子体频率时，二阶波动方程可以化成一阶方程。按本站采用的符号约定，

i\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}\begin{pmatrix}A_\parallel\\a\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}\Delta_{\rm pl}&\Delta_{a\gamma}\\\Delta_{a\gamma}&\Delta_a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_\parallel\\a\end{pmatrix},

矩阵的三个元素都是长度的倒数：

\Delta_{a\gamma}=\frac{g_{a\gamma}B_\perp}{2},\qquad\Delta_a=-\frac{m_a^2}{2E},\qquad\Delta_{\rm pl}=-\frac{\omega_{\rm pl}^2}{2E}.

非对角元 $\Delta_{a\gamma}$ 就是混合。对角元说的是每个态的相位比无质量的波漂移了多少：轴子因为自身质量 $m_a$ 漂移；光子因为等离子体里的自由电子给了它一个等于等离子体频率 $\omega_{\rm pl}$ 的等效质量。加上另一种偏振后，同一个矩阵就是Meyer、Horns与Raue 2013年论文的式(5)，也出现在Mirizzi、Raffelt与Serpico 2007年论文的附录里。两篇都还带一个真空极化项；对keV光子和微高斯磁场它小到可以忽略，本章略去。

转到本征基里求解

常数对称矩阵有两个实本征值和互相正交的本征矢。用混合角 $\theta$ 来写：

\tan2\theta=\frac{2\Delta_{a\gamma}}{\Delta_{\rm pl}-\Delta_a}.

本征值是 $\lambda_\pm=\tfrac12(\Delta_{\rm pl}+\Delta_a)\pm\tfrac12\Delta_{\rm osc}$ ，其中

\Delta_{\rm osc}=\sqrt{(\Delta_{\rm pl}-\Delta_a)^2+4\Delta_{a\gamma}^2}.

在转过的基里，每个分量只是乘上相位 $\mathrm e^{i\lambda_\pm z}$ 。从纯光子出发， $A_\parallel=1$ ， $a=0$ ：先转进本征基，让两部分各自演化，再转回来。轴子振幅是

a(z)=\sin\theta\cos\theta\left(\mathrm e^{i\lambda_+z}-\mathrm e^{i\lambda_-z}\right).

它的模平方就是转换概率。利用 $\lvert\mathrm e^{ix}-\mathrm e^{iy}\rvert^2=4\sin^2\tfrac{x-y}{2}$ 和 $\sin2\theta=2\Delta_{a\gamma}/\Delta_{\rm osc}$ ，

P_{\gamma\to a}(L)=\left(\frac{2\Delta_{a\gamma}}{\Delta_{\rm osc}}\right)^2\sin^2\!\left(\frac{\Delta_{\rm osc}L}{2}\right).

$\Delta_{\rm pl}+\Delta_a$ 带来的公共相位消掉了，起作用的只有两态之差和它们之间的混合。

四个要核对的极限

令耦合或磁场为零， $\Delta_{a\gamma}=0$ ，在任何长度和能量下概率都为零，理应如此。

路径很短， $\Delta_{\rm osc}L\ll1$ ，正弦近似等于它的宗量，错位也随之消失：

P_{\gamma\to a}\simeq(\Delta_{a\gamma}L)^2=\left(\frac{g_{a\gamma}B_\perp L}{2}\right)^2.

这就是起初概率随“磁场乘长度”的平方增长的原因。

把轴子质量调到等于等离子体频率，两个对角元相等，振幅因子等于一， $P_{\gamma\to a}=\sin^2(\Delta_{a\gamma}L)$ ，能量完全消失。下一章会用到这个共振。

最后，光子存活率和轴子比例之和始终为一，因为演化只是把两个振幅转一转、改一改相位。

从电子伏特换到千秒差距

需要两条换算。在这套单位里一特斯拉是 $195.35\,\mathrm{eV^2}$ ，一微高斯即 $10^{-10}$ 特斯拉，是 $1.9535\times10^{-8}\,\mathrm{eV^2}$ 。一千秒差距是 $1.5637\times10^{26}\,\mathrm{eV^{-1}}$ 。取 $g_{a\gamma}=10^{-11}\,\mathrm{GeV^{-1}}=10^{-20}\,\mathrm{eV^{-1}}$ ， $B_\perp=1\,\mu\mathrm G$ ：

\Delta_{a\gamma}=\frac{10^{-20}\times1.9535\times10^{-8}}{2}\,\mathrm{eV}=9.77\times10^{-29}\,\mathrm{eV}.

乘上一千秒差距包含的电子伏特倒数，就得到

\Delta_{a\gamma}=9.77\times10^{-29}\times1.5637\times10^{26}\,\mathrm{kpc^{-1}}=1.527\times10^{-2}\,\mathrm{kpc^{-1}}.

混合项对耦合和磁场都是线性的。这两条换算是我们从CODATA常数推出的，特斯拉的值还用临界磁场 $m_e^2/e$ 另走一条路核对过。

例题：一段均匀磁场

取 $g_{a\gamma}=10^{-11}\,\mathrm{GeV^{-1}}$ ， $B_\perp=5\,\mu\mathrm G$ ，电子密度 $10^{-2.5}\,\mathrm{cm^{-3}}$ ， $m_a=10^{-13}\,\mathrm{eV}$ ，路径96 kpc， $E=6.6\,\mathrm{keV}$ 。三个矩阵元见下表。

**表 2.1** 均匀磁场例题的混合矩阵元。
矩阵元	数值，单位为千秒差距的倒数
$\Delta_{a\gamma}$	$7.64\times10^{-2}$
$\Delta_{\rm pl}$	$-5.17\times10^{-2}$
$\Delta_a$	$-1.18\times10^{-4}$

于是 $\Delta_{\rm osc}=0.161\,\mathrm{kpc^{-1}}$ ，一个完整周期需要 $2\pi/\Delta_{\rm osc}=39.0$ kpc。振幅因子是 $(0.1527/0.1612)^2=0.898$ 。整段路径的相位 $\Delta_{\rm osc}L/2=7.74$ rad， $\sin^2(7.74)=0.987$ 。沿磁场偏振的光子转换概率为

P_{\gamma\to a}=0.898\times0.987=0.886.

非偏振光是两种偏振各占一半，只有一半参与混合，存活率是 $1-P_{\gamma\to a}/2=0.557$ 。同一条路径在2、4和9 keV处的存活率分别是0.777、0.718和0.570，变暗的程度随能量而变。

Lab任务

预测：选均匀磁场预设。先不动任何东西，用公式判断6.6 keV处的存活率高于还是低于一半。
改一个条件：把能量竖线从0.5拖到10 keV，记下实线的几个极小值在哪里。
对比：均匀模式下虚线参照就是上面的闭式公式。确认两条曲线在所有能量上重合。
解释：把耦合滑块调到指数负十二。凹陷缩到百分之几，位置也移动了。用振幅因子解释：一旦混合远小于错位，最大可能的转换就随耦合的平方下降。

习题

在短路径极限下，耦合加倍、磁场减半，转换概率变为原来的多少倍？
错位 $\Delta_{\rm pl}-\Delta_a$ 取多大时，最大可能的转换恰好是一半？
非偏振光穿过一段均匀磁场。证明剩下的光线偏振度为 $P_{\gamma\to a}/(2-P_{\gamma\to a})$ ，并代入例题的数值。

解答

不变。短路径概率只依赖乘积 $g_{a\gamma}B_\perp$ ，它没有变。
振幅因子是 $4\Delta_{a\gamma}^2/[(\Delta_{\rm pl}-\Delta_a)^2+4\Delta_{a\gamma}^2]$ 。令它等于一半，得 $\lvert\Delta_{\rm pl}-\Delta_a\rvert=2\Delta_{a\gamma}$ ，即错位等于混合的两倍。
垂直于磁场的偏振保留强度二分之一，沿磁场的偏振保留 $(1-P_{\gamma\to a})/2$ 。两者之差除以两者之和就是 $P_{\gamma\to a}/(2-P_{\gamma\to a})$ 。代入 $P_{\gamma\to a}=0.886$ 得0.795，剩下的光偏振方向垂直于磁场。

到Lab里试试：选“均匀磁场里的振荡”，再拖动能量竖线。