星系团磁场与等离子体中的混合

上一章把光子和轴子看成两个会混合的态推出了两态概率。这一章往里面代星系团的数。

星系团气体的等离子体频率

自由电子会响应经过的电磁波，改变它的色散关系。对远高于等离子体频率的X射线，光子表现得像带有质量 $\omega_{\rm pl}$ ：

\omega_{\rm pl}^2=\frac{4\pi\alpha\,n_e}{m_e}.

其中 $n_e$ 是电子数密度， $m_e$ 是电子质量， $\alpha$ 是精细结构常数。用CODATA常数算出来是

\omega_{\rm pl}=3.713\times10^{-11}\,\mathrm{eV}\,\sqrt{\frac{n_e}{1\,\mathrm{cm^{-3}}}}.

Meyer、Horns与Raue 2013年论文印的系数是 $3.69\times10^{-11}$ ，我们的大0.6%。我们保留从常数算出的值，把差别记录下来，而不去迁就那个舍入过的数。

星系团气体的密度大约在 $10^{-3}$ 到 $10^{-1}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 之间，所以 $\omega_{\rm pl}$ 是几倍 $10^{-12}$ eV。 $n_e=10^{-2.5}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 时它是 $2.09\times10^{-12}$ eV，1 keV处的光子项 $\Delta_{\rm pl}=-0.341\,\mathrm{kpc^{-1}}$ ，并且与“密度除以能量”成正比。

一个比值决定处在哪个区

两态公式里的振幅因子可以只用一个比值来写。错位是 $\Delta_{\rm pl}-\Delta_a=(m_a^2-\omega_{\rm pl}^2)/(2E)$ ，混合的两倍是 $g_{a\gamma}B_\perp$ ，两者之比等于 $E_{\rm crit}/E$ ，其中

E_{\rm crit}=\frac{\lvert m_a^2-\omega_{\rm pl}^2\rvert}{2g_{a\gamma}B_\perp}.

代回去，最大可能的转换有一个精确的形式：

\left(\frac{2\Delta_{a\gamma}}{\Delta_{\rm osc}}\right)^2=\frac{1}{1+(E_{\rm crit}/E)^2}.

远高于 $E_{\rm crit}$ 时因子趋于一；远低于它时按 $(E/E_{\rm crit})^2$ 下降。Meyer等人式(6)给的也是这个临界能量。他们把它写成2.5 GeV乘上质量差（单位为平方纳电子伏特），再除以耦合（单位为 $10^{-11}\,\mathrm{GeV^{-1}}$ ）和磁场（单位为微高斯）。从常数重算这个系数得到2.56 GeV，可见2.5是舍入值。

Lab预设里的三种情形

默认的缠绕磁场。 取 $g_{a\gamma}=10^{-11.5}\,\mathrm{GeV^{-1}}$ ， $B_\perp=5\,\mu\mathrm G$ ， $n_e=10^{-2.5}\,\mathrm{cm^{-3}}$ ， $m_a=10^{-13}$ eV。轴子质量比等离子体频率小得多，可以忽略。公式给出 $E_{\rm crit}=7.04$ keV；用Meyer舍入后的系数得6.88 keV，相差2%，完全来自舍入。在1到9 keV之间，振幅因子从约0.02升到0.6以上，所以转换随能量增强。

质量与等离子体共振。 令 $m_a=\omega_{\rm pl}=2.09\times10^{-12}$ eV。两个对角元相等，振幅因子在所有能量上都是一， $\Delta_{\rm osc}=2\Delta_{a\gamma}$ 。取 $g_{a\gamma}=10^{-12}\,\mathrm{GeV^{-1}}$ ， $B_\perp=5\,\mu\mathrm G$ ，均匀路径96 kpc：

\Delta_{a\gamma}L=7.64\times10^{-3}\times96=0.733,\qquad P_{\gamma\to a}=\sin^2(0.733)=0.448.

非偏振光的存活率是0.776，0.5 keV和10 keV处完全一样。真实星系团里密度沿路径变化，这种共振只会在 $\omega_{\rm pl}$ 恰好等于 $m_a$ 的一薄层里成立。

较重的轴子。 把质量提到 $10^{-11}$ eV， $g_{a\gamma}=10^{-11}\,\mathrm{GeV^{-1}}$ 。现在轴子项占主导， $E_{\rm crit}=49.0$ keV。振幅因子在1 keV是 $4.2\times10^{-4}$ ，在6.5 keV是 $1.7\times10^{-2}$ ，涨了四十倍。光谱低能端纹丝不动，高能端出现凹陷。X射线搜寻随质量增大而失去灵敏度，靠的就是这种低能截止。

发表上限处的英仙座剖面

Reynolds等人用早先X射线工作给出的双成分剖面描述英仙座的电子密度，即他们的式(2)：

n_e(r)=\frac{3.9\times10^{-2}}{[1+(r/80\,\mathrm{kpc})^2]^{1.8}}+\frac{4.05\times10^{-3}}{[1+(r/280\,\mathrm{kpc})^2]^{0.87}}\,\mathrm{cm^{-3}}.

在他们的磁场模型B里，磁压是气体压强的固定比例，25 kpc处磁场约7.5微高斯；把星系团近似为等温，磁场就按密度的平方根下降。Reynolds等，2020 先不管他们的随机磁畴结构，只看这条径向缩放，在他们排除的耦合 $g_{a\gamma}=7.9\times10^{-13}\,\mathrm{GeV^{-1}}$ 处：

**表 3.1** 模型B径向剖面上的临界能量，极轻轴子。
半径	电子密度	磁场	临界能量
25 kpc	$3.70\times10^{-2}\,\mathrm{cm^{-3}}$	$7.5\,\mu\mathrm G$	220 keV
100 kpc	$1.08\times10^{-2}\,\mathrm{cm^{-3}}$	$4.1\,\mu\mathrm G$	119 keV
200 kpc	$3.93\times10^{-3}\,\mathrm{cm^{-3}}$	$2.4\,\mu\mathrm G$	72 keV

每个临界能量都远在Chandra波段之上。在这个耦合下，英仙座对X射线的混合很弱：单个相干小块的转换远不到百分之一。百分之一量级的信号，是光子穿过许多小块累积出来的。5 keV处的振荡长度从中心附近约8 kpc到200 kpc处约74 kpc，和小块尺寸相近，于是每块的贡献随能量改变相位，起伏就是这样来的。

Lab没有加入望远镜的能量分辨率。比仪器分辨率还窄的起伏，在真实光谱里会被部分抹平；真实分析必须把模型送过仪器响应。

Lab任务

预测：在默认预设下打开高级面板，读出临界能量。判断2 keV和8 keV的光子，哪个平均转换更多。
改一个条件：把密度滑块提高一个数量级。先预测临界能量怎么变，再核对。
对比：选“质量与等离子体共振”预设，把能量竖线拖过整个波段，实线应当保持水平。
解释：选“较重轴子”预设，大致找出虚线平均第一次降到0.95以下的位置。它出现在3.6 keV附近。解释它为什么比临界能量低十倍以上：24个小块每块贡献一点转换，小量累积起来。

习题

某星系团 $n_e=10^{-3}\,\mathrm{cm^{-3}}$ ， $B_\perp=2\,\mu\mathrm G$ 。对极轻轴子和 $g_{a\gamma}=10^{-12}\,\mathrm{GeV^{-1}}$ ，估计 $E_{\rm crit}$ 。
耦合和磁场不变时，密度加倍， $E_{\rm crit}$ 怎么变？如果轴子质量已经远大于等离子体频率，再把质量加倍呢？
共振情形下 $\Delta_{\rm pl}$ 本身仍然依赖能量，为什么转换却不再依赖能量？

解答

$\omega_{\rm pl}=3.713\times10^{-11}\times\sqrt{10^{-3}}=1.17\times10^{-12}$ eV， $\omega_{\rm pl}^2=1.38\times10^{-24}\,\mathrm{eV^2}$ 。 $2g_{a\gamma}B_\perp=2\times10^{-21}\times3.91\times10^{-8}=7.81\times10^{-29}\,\mathrm{eV}$ ，临界能量为 $1.77\times10^{4}$ eV，约18 keV。
临界能量正比于 $\omega_{\rm pl}^2$ ，也就正比于密度，所以密度加倍它也加倍。质量占主导时它按 $m_a^2$ 缩放，质量加倍则变为四倍。
概率里只出现差 $\Delta_{\rm pl}-\Delta_a$ 。两项都与能量成反比， $m_a=\omega_{\rm pl}$ 时在每个能量上都相消，而混合项 $g_{a\gamma}B_\perp/2$ 里根本没有能量。

到Lab里试试：比较“质量与等离子体共振”和“较重轴子的低能截止”，在高级面板里读临界能量。