随机磁畴、偏振与恒星冷却

本章默认你已经熟悉两态公式和星系团磁场与等离子体中的混合里的临界能量，也知道用密度矩阵描述几种态的非相干混合。

磁畴模型，以及它略去了什么

把路径分成 $N$ 个长度为 $L$ 的小块。第 $j$ 块里，横向磁场强度固定，在天空平面内的方向 $\psi_j$ 均匀、独立地随机选取。块内对沿 $\psi_j$ 的偏振套用两态公式。在固定基 $(A_x,A_y,a)$ 里，这一块的传递矩阵就是单块解转过 $\psi_j$ 角，整条视线是这些矩阵的乘积。

真实的星系团磁场是湍流，尺度连续分布，没有清晰的块边界。Matthews等人发现，分辨相干长度以下的结构可能有影响；不过对英仙座的上限，高斯随机场只给出略弱一点的结果。Matthews等，2022 磁畴模型应当看作对这种磁场的一种可控近似。

推导随机方向上的平均

非偏振光是混合态 $\rho=\mathrm{diag}(\tfrac12,\tfrac12,0)$ 。设进入某块之前轴子比例为 $I_a$ ，光子比例为 $I_\gamma=1-I_a$ 。新角度 $\psi_j$ 与之前的一切独立，对它取平均可得两件事。

第一，沿新磁场方向的光子强度平均是 $I_\gamma/2$ ，因为 $\cos^2\psi_j$ 和 $\sin^2\psi_j$ 平均都是二分之一， $\cos\psi_j\sin\psi_j$ 项平均为零。第二，光子和轴子之间残留的相干，进入新块时要乘上 $\cos\psi_j$ 或 $\sin\psi_j$ ，所以它对下一步轴子比例的贡献平均也是零。

剩下的就是布居数的更新：轴子以概率 $P_j$ 变回光子，平行偏振的光子以同样概率变成轴子，

\langle I_a'\rangle=\langle I_a\rangle(1-P_j)+\frac{\langle I_\gamma\rangle}{2}P_j=\langle I_a\rangle+P_j\left(\frac12-\frac32\langle I_a\rangle\right).

记 $D=\tfrac13-\langle I_a\rangle$ ，更新变成 $D'=D(1-\tfrac32P_j)$ 。从 $D=\tfrac13$ 出发，

\langle P_{\gamma\to a}\rangle_N=\frac13\left[1-\prod_{j=1}^{N}\left(1-\frac32P_j\right)\right].

$P_j$ 很小时乘积变成指数， $\tfrac13[1-\exp(-\tfrac32NP)]$ ，这正是Mirizzi、Raffelt与Serpico 2007年论文的式(5)。块数少时回到求和 $NP$ ；块数多时结果趋于三分之一：光在两种光子偏振和一个轴子之间平分。

在这些假设下，即角度独立均匀、各块强度固定，乘积规律对平均值是精确的。我们用4000条Lab视线检验过，又用另一个Python脚本、换一种随机数发生器跑了2000条。两组平均都在统计误差内与公式一致。

例题：一条视线和平均值

取默认预设：24块，每块8 kpc， $g_{a\gamma}=10^{-11.5}\,\mathrm{GeV^{-1}}$ ， $B_\perp=5\,\mu\mathrm G$ ， $n_e=10^{-2.5}\,\mathrm{cm^{-3}}$ ，能量3 keV。单块对平行偏振光子的转换概率 $P_j=0.0344$ ；短路径估计 $(\Delta_{a\gamma}L)^2=0.0373$ 偏高8%，因为等离子体项不能忽略。于是

\prod_{j=1}^{24}(1-1.5\times0.0344)=0.280,\qquad\langle P_{\gamma\to a}\rangle=\frac{1-0.280}{3}=0.240.

默认那条视线有它自己的一组角度，同一能量下轴子比例只有0.117，不到平均值的一半。这是正常结果，不是算错。在0.5到10 keV之间，这条视线和平均值的最大差距是0.225。拟合数据时必须和许多种实现比较；Reynolds等人每种磁场模型用了500种。

剩下的光为什么带偏振

每一块里只有沿磁场的偏振损失强度。原本非偏振的光离开时，垂直于磁场的强度比平行的多。单块的线偏振度是 $P_j/(2-P_j)$ ， $P_j$ 小时接近 $P_j/2$ 。穿过许多块后，优势方向跟着磁场游走，净偏振取决于具体实现。默认视线在3 keV处是0.116。

偏振是另一条独立的线索。如果源本身的偏振已知且很低，就可以用观测到的偏振来限制耦合，而不靠光谱起伏。Day与Krippendorf介绍了用X射线偏振测量做这件事的方法，并给出预期上限，对象是透过强磁场看到的点源。Day与Krippendorf，2018 PDG综述还列出一条来自磁白矮星光学偏振的上限： $1.7\times10^{-12}\,\mathrm{GeV^{-1}}$ ，置信度95%，这些白矮星的磁场可以直接测出来。PDG轴子综述，2025

恒星：产生，而不是传播

恒星内部不需要大尺度磁场。热光子从原子核或电子旁边经过，就能在那个粒子的电场里变成轴子，这叫Primakoff过程。轴子自由逃逸，带走能量。

恒星论证用的是能量收支，不是混合矩阵。PDG综述给出：水平分支星核心平均的氦燃烧放能约为每克每秒80尔格；Primakoff损失约为同单位下的 $30g_{10}^2$ ，其中 $g_{10}=g_{a\gamma}/10^{-10}\,\mathrm{GeV^{-1}}$ 。氦消耗加快，水平分支阶段的寿命按下面的因子缩短：

\frac{t_{\rm HB}(g)}{t_{\rm HB}(0)}\approx\frac{80}{80+30g_{10}^2}.

红巨星受的影响小得多。于是球状星团里水平分支星与红巨星的数目比 $R$ 随耦合增大而下降。Ayala等人在39个星团里测得平均 $R=1.39\pm0.04$ ，结合恒星模型和氦丰度，得到 $g_{a\gamma}<6.6\times10^{-11}\,\mathrm{GeV^{-1}}$ ，置信度95%。Ayala等，2014 在这个耦合下上面的因子是0.860：水平分支星的寿命缩短约14%。

两条上限只共用一个耦合常数。X射线上限需要星系团磁场模型，只对轻于约 $10^{-12}$ eV的轴子成立。恒星上限需要恒星演化和氦丰度，对几keV以下的质量都成立，在那个范围里恒星等离子体仍然能产生这种粒子。

Lab任务

预测：在默认预设下读出3 keV处的轴子比例，和虚线平均比较。重新抽样之前，猜一猜新的实现会不会更接近平均。
改一个条件：把某一块的箭头转90度，看沿程曲线：后面各块的转换也变了，因为进入它们的态已经不同。
对比：把耦合滑块往上调，直到虚线平均变平，确认它趋近三分之二的存活率。
解释：把耦合调到恒星标尺上标出的水平分支上限。解释为什么在这个耦合下X射线光谱会严重变形，而恒星寿命只变14%。

习题

每块都有 $P_j=0.02$ 。分别用乘积规律和朴素估计 $NP_j/2$ 计算非偏振光的平均轴子比例，块数取12和40。
多大的耦合会让水平分支寿命缩短3%？ $R$ 已知到约3%，为什么发表的上限比这个值大？
举一个理由，说明对同一个星系团，偏振和光谱起伏不一定给出同样的上限。

解答

12块时乘积规律给 $\tfrac13[1-(0.97)^{12}]=0.102$ ， $NP_j/2=0.120$ 已经偏高18%。40块时乘积规律给 $\tfrac13[1-(0.97)^{40}]=0.235$ ，朴素估计给 $0.400$ 。朴素求和忽略了变成轴子的部分也会变回来。
令 $80/(80+30g_{10}^2)=0.97$ ，得 $g_{10}^2=0.0825$ ，即 $g_{a\gamma}=2.9\times10^{-11}\,\mathrm{GeV^{-1}}$ 。理论上的 $R$ 还依赖氦丰度和恒星模型，这些不确定性放宽了允许范围。测得的 $R$ 甚至略偏低，PDG综述称之为一个微弱迹象，对应 $g_{a\gamma}=(2.9\pm1.8)\times10^{-11}\,\mathrm{GeV^{-1}}$ 。
两种观测量依赖不同的未知量。起伏上限依赖光谱本身有多平滑，以及磁场随能量变化的相位；偏振上限依赖源本身的偏振，以及磁场方向怎样游走。

到Lab里试试：转动一个磁畴箭头，再把耦合加大到第一条恒星上限。