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Sandbox Physics
从行星轨道读到凌星计时

L2 · 凌星计时变化

从一次次遮星得到测时残差

Sandbox Physics ·

有了轨道上的一串位置，还没有完成测时。要先在积分步之间定位前景遮星，再说明采用哪种中心时刻，最后扣掉一只用全部事件拟合出来的钟。

在图像平面寻找一个极小值

先取行星相对恒星的位置，再把这个向量投影到垂直观测方向的天空平面。它的长度平方就是两个圆心的表观距离平方。对时间求导，得到两倍的投影位置与投影速度点积。

距离经过极小值时，这个点积从负变正。还要加上两个条件：行星在前景，它的圆盘也确实碰到恒星圆盘。恒星背后的行星一样会出现投影极小值；正面朝向的轨道也可能在最近处仍完全错开恒星。

ddt∣r⊥∣2=2r⊥⋅v⊥,D(tmid)=0\frac{d}{dt}|\boldsymbol r_\perp|^2=2\boldsymbol r_\perp\cdot\boldsymbol v_\perp,\qquad D(t_{\rm mid})=0
教学模型完全侧向观测，天空坐标取纵向；前景要求相对横坐标为正。投影距离与两个圆盘半径必须用同一个长度单位。

对应阅读：Deck et al. · Greklek-McKeon et al.

求根很细，也修不好一条粗轨道

把极小值前后的两个积分状态当作一个夹住根的区间，再在里面细化事件。位置插值必须一致，采用的力模型也不能中途改变。反复二分，可以把插值多项式的根求得极细。

但若数值轨道本身已经提前了，细求根只会精确地找到错误时刻。独立检查因此使用另一种积分器 IAS15，并在求根时从夹根状态重新积分。步长细化与另一套参考计算，分别检验了问题的不同部分。

默认分辨率下，二十四组预设与边角案例在二百个初始内周期内，都与独立几何根相差不到零点零八秒。这是注明牛顿模型下的数值比较，尚未包含星斑或光到达观测者所需的时间。

对应阅读：Deck et al. · Deck & Agol

再把几何接到亮度上

亮度计算给恒星一个有限圆盘。它的边缘比中心暗，这叫临边昏暗。每一刻对可见表面强度积分，再扣掉前景行星盖住的部分；两个行星圆盘重叠时，只能把重合区域扣一次。

流量使用的投影位置与事件搜索完全相同。孤立、对称的遮星中，几何最近点就是最深处。有限曝光会平均相邻时刻；轨道加速度或恒星表面特征，则可能让光度拟合的中心与几何定义出现差别。拟合之前应把采用的时刻说清楚。

六个冻结合成预设中，选定内行星遮星的瞬时极小值及三十分钟曝光平均极小值，与几何事件都相差不到零点零七秒，接近数值插值尺度。若采用太阳质量恒星，行星至观测者的领先阶光时项约五十秒，多数会被拟合钟吸收，但较长节拍预设中仍可留下约零点六六秒测时变化。这份保存估计尚未求完整延迟光线几何，也未加入恒星表面活动；精细数值根与真实到达时刻的准确度各有自己的边界。

I(μ)I(1)=1−u1(1−μ)−u2(1−μ)2,μ=1−ρ2,F(t)=∫visible unblockedI dA∫diskI dA\frac{I(\mu)}{I(1)}=1-u_1(1-\mu)-u_2(1-\mu)^2,\quad \mu=\sqrt{1-\rho^2},\quad F(t)=\frac{\int_{\rm visible\,unblocked}I\,dA}{\int_{\rm disk}I\,dA}
径向坐标以恒星半径计，系数采用零点四和零点二。流量无量纲；半径决定遮星深度，引力决定轨道。

对应阅读：Deck et al. · Greklek-McKeon et al.

连同两项自由度一起拟合钟表

每次观测保留整数圈号，以及以天计的测得时刻。误差给出权重，也就是时间方差的倒数。调整钟表起点和周期，寻找加权时间残差平方和的最小值。

分别对这两个钟表参数求导，就得到两个线性方程。先扣去加权平均，可以把斜率与截距拆开，也让运算更稳定。缺失观测要在圈号中留下空档；抹掉空档会改掉物理周期。

χ2=∑nwn[tn−T0−nP]2,wn=σn−2\chi^2=\sum_n w_n[t_n-T_0-nP]^2,\quad w_n=\sigma_n^{-2}
这里假定各测时误差独立；共同的光度形状拟合可能让时刻相关，若有完整协方差，就应使用它。
P=∑nwn(n−nˉ)(tn−tˉ)∑nwn(n−nˉ)2,T0=tˉ−Pnˉ,rn=tn−T0−nPP=\frac{\sum_nw_n(n-\bar n)(t_n-\bar t)}{\sum_nw_n(n-\bar n)^2},\quad T_0=\bar t-P\bar n,\quad r_n=t_n-T_0-nP
横线表示加权平均。拟合后，残差的加权总和、残差与圈号的加权相关都为零。

对应阅读：Lithwick · Deck et al.

把一个实际合成事件完整减一遍

采用保存的默认积分：伴星二十地球质量，初始周期比二点零四，内行星起初为圆，积分二百个初始十二天周期。下表是生成的事件，不是 Kepler 观测；零点取积分起点。

第一行用十二点零零一八七六天减十一点九九五一六六天，得到零点零零六七一零天，再乘每天一千四百四十分钟，约为晚到九点六六分钟。第一次未来遮星也可以残差为正，因为整条记录共同决定了这只钟的起点和周期。

拟合周期是受扰轨道上的平均间隔。若换成初始十二天开普勒周期，残差图就会多出另一条斜率。保存测时图时，也应保存所用历表。

内行星圈号积分时刻／天拟合时刻／天残差／分钟
112.00187611.9951669.66
1001200.0819861200.0772156.87
1992388.1620792388.1592644.05

对应阅读：Deck et al. · Lithwick

两颗行星会产生两种节拍

把两颗行星的平均角速度相减，得到它们彼此超越的速率，倒数便是会合间隔。接近二比一时，还有另一种角组合变得很慢：外行星平均经度的两倍，减去内行星平均经度。这个频率的倒数是近共振超周期。

初始周期取十二天和二十四点四八天时，会合约每二十三点五四天发生一次，但近似长节拍需要六百一十二天。若周期比缩到二点零零八，长节拍约为三千零十二天；二百个内周期只有两千四百天，还没覆盖它的完整一轮。

这些频率估计适用于弱受扰、接近共振的运动。若系统已经锁在共振里，可能出现自己的摆动时间尺度。仅凭周期比接近整数，无法判断这一动力学状态。

Psyn=1∣1/P1−1/P2∣,Psup=1∣2/P2−1/P1∣P_{\rm syn}=\frac1{|1/P_1-1/P_2|},\qquad P_{\rm sup}=\frac1{|2/P_2-1/P_1|}
两个结果都以时间计，但对应不同角组合；它们分别描述会合与慢测时两种不同运动。

对应阅读：Lithwick · Deck & Agol

亲手观察

把一次遮星接回完整测时序列

  1. 在恒星遮挡附近暂停，找出相应的金色事件标记。
  2. 比较更长的节拍与接近二比一，估计二百圈是否足够覆盖慢变化。
  3. 导出合成记录，寻找同一事件的拟合时刻与残差。

练习与答案

只观测到第零、二、五圈，拟合前把它们重编号为零、一、二，会怎样？

拟合会把不等的物理间隔当成相等。所得斜率不再是轨道周期，还可能凭空制造测时曲率。即使大部分遮星都缺测，也必须保留真正的整数圈号。

算术例题的圈号为零至三，时刻依次为一百、一百一十二点零一、一百二十四点零一、一百三十六天，误差相同。求拟合钟与残差。

中心化斜率为十二天，拟合起点为一百点零零五天。残差依次为负七点二、正七点二、正七点二、负七点二分钟。这是最小二乘算术练习，不宣称是一条物理轨道或真实观测。

为什么报告极小的求根容差，仍可能得到假的测时波？

求根容差针对的是数值轨道构成的函数，积累的轨道相位误差可以整体移动这个函数。要同时检验解析零例，并细化轨道和观测计算。

来源与计算范围

  1. Lithwick, Xie & Wu, Extracting Planet Mass and Eccentricity From TTV Data (2012)

    固定 v2，第二节、公式一至十及附录 B：自由偏心率向量、近共振近似的适用条件。

  2. Deck & Agol, Measurement of Planet Masses with Synodic Chopping (2015)

    固定 v1，第二至第五点一节、公式十至十五及附录 A：凌星采样如何混叠分量，PH3 案例如何比较加入会合踢动前后的质量约束。

  3. Deck et al., TTVFast (2014)

    固定 v1，第二点一点三、第二点二至三和第三节：几何凌星中心取前景天体的星心投影距离极小值。教学积分复用本站 RK4 核并独立比较 IAS15，不移植 GPL TTVFast 代码。

  4. Greklek-McKeon et al., Kepler-289 Densities and Transit Timing (2023)

    固定 v1，第二至三节、表一及图二至四、九至十，许可为 CC BY 4.0。作者先联合拟合遮星形状，再用三行星动力学拟合测得的时刻。

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