动手复算振铃后验的校准检验

每项检验背后的推导，分别在可信区域、秩检验和模型失配三章。校准做法沿用 Talts 等人，重要性采样检查沿用 Dax 等人。Talts 等，2018 Dax 等，2023

下载文件，准备环境

先读 README，里面列了模型、运行顺序、耗时和文件指纹。脚本都放在一个文件夹里，设置放在 inputs 子文件夹，结果写进 outputs 子文件夹。下面这条命令用 curl 自带的列表写法，按这个结构把文件取下来：

mkdir ac87 && cd ac87
curl -fsS --create-dirs -o "#1" "https://sandboxphysics.com/stories/simulation-based-inference/materials/\
{README.md,requirements.txt,ringdown_model.py,neural_posterior.py,calibration_statistics.py,\
calibrate_linear_gaussian.py,validate_grid_posterior.py,train_neural_posterior.py,validate_neural_posterior.py,\
inputs/ringdown-config.json,inputs/training-settings.json,inputs/linear-gaussian-settings.json,\
inputs/grid-validation-settings.json,inputs/neural-validation-settings.json,\
outputs/frozen-neural-posterior.json,outputs/training-log.json,outputs/failure-cases.json}"
python3 -m pip install -r requirements.txt

唯一的依赖是 NumPy，requirements.txt 把它固定在 2.0.2。公开的结果是在 arm64 macOS 的 CPU 上、用 Python 3.9.6 跑出来的。想拿来对照的已保存输出，比如共轭高斯的结果，请另放一个文件夹，因为每个脚本都会覆盖自己的输出。

单位与约定

**表 5.1** 各脚本共用的量。
量	符号	单位或范围
采样率与长度	4096 Hz，128 个采样	共 $31.25\,\mathrm{ms}$
频率	$f$	$200$ 到 $300\,\mathrm{Hz}$ ，均匀先验
衰减时间	$\tau$	$2$ 到 $10\,\mathrm{ms}$ ，均匀先验
振幅与相位	$A$ 、 $\varphi$	固定为 $1$ 和 $0$
每个采样的噪声	$\sigma$	白化单位，训练范围 $0.15$ 到 $0.6$
覆盖率		记录所占比例，名义水平也写成比例

模型设置还固定了三类失配。它们的比例只为教学而设：第二模式没有取克尔黑洞泛音的真实数值，毛刺用正弦高斯波包代替真实的探测器瞬变。

第一步：校准一个答案已知的模型

python3 calibrate_linear_gaussian.py
shasum -a 256 outputs/linear-gaussian-sbc.json

大约 2 秒跑完。先验是 $\theta\sim\mathcal N(0,1)$ ，四次测量的高斯噪声标准差为一，所以精确后验是方差 $0.2$ 的正态分布。脚本用 $4000$ 次模拟、每次 $99$ 个样本、分 20 根柱子，检验这个后验和四个错误的后验。指纹应为 8bcd4246…cebd4，与 README 一致。

打开输出，每种算法看三个字段。counts 是直方图，拿它和 uniform99Band（即 $[165, 236]$ ）比。analyticExpectedCounts 是不经模拟、直接由各个错误后验的已知形式预测的直方图。centralIntervalCoverage 给出真值落进 50% 和 90% 区间的模拟比例、这个比例的 Wilson 95% 区间，以及解析值。

这次运行里，精确后验没通过均匀性检验，尾部概率是 $0.0093$ 。这是失败记录里的第一条。repeatStudy 给出了解释：独立重复 200 次，精确后验被标出两次，每个错误后验都被标出 200 次。在 1% 的门槛下只跑一次，大约每一百次会有一次误报。

第二步：检查精确网格后验

python3 validate_grid_posterior.py

大约 15 秒，写出 grid-validation.json。后面的一切都拿网格后验当参照，所以它要先过四项检查，而且这些检查不走它自己的计算路径。

**表 5.2** 默认源上，网格后验宽度与费希尔极限之比。
噪声 $\sigma$	最优信噪比	频率宽度之比	衰减时间宽度之比
$0.6$	$4.32$	$1.50$	$0.82$
$0.2$	$13.0$	$1.09$	$1.00$
$0.05$	$51.8$	$1.00$	$1.00$

每个比值都是网格后验的标准差除以费希尔矩阵的预测。费希尔矩阵是高信噪比下的极限，所以只指望下面两行对得上。 $\sigma=0.6$ 时后验不是高斯形状，还被先验方框截掉了一块。

在同一个似然上跑 Metropolis 抽样，频率均值 $249.993\,\mathrm{Hz}$ 、标准差 $3.32\,\mathrm{Hz}$ ；网格给出的是 $249.994$ 和 $3.28$ 。对网格做 2000 次模拟的 SBC，秩检验尾部概率是 $0.336$ 和 $0.071$ ，90% 覆盖率是 $0.897$ 。最后，在强度 $0.02$ 时，小失配模式的一阶偏差公式和网格算出的偏移相差不到 1%。

第三步：冻结的网络和它的训练成本

冻结的网络在 logit 变换后的坐标里输出五个高斯分布的混合。输入是记录在一组模板基上的 20 个投影，外加 $\ln(\sigma/0.3)$ 。两层各 128 个 tanh 单元，共 $23{,}198$ 个参数。指纹是 bb213976…ed575。

训练这一步可以跳过：

python3 train_neural_posterior.py

它在一个 CPU 上用了 $413.8\,\mathrm{s}$ ，见过 $3072$ 万次模拟，每次都从模型正确的情形里新抽。训练日志里最终的验证损失是 $1.512$ 。网络从没见过任何一类失配。从种子 87 重新训练，得到的网络表现应当相同；字节完全一致，只有在同一个 NumPy 构建上才能指望。

第四步：检验网络

python3 validate_neural_posterior.py

大约 70 秒，写出 neural-validation.json 和 browser-parity-cases.json。后一个文件固定了一组输入和输出，Lab 的浏览器代码必须逐一复现。它的指纹应为 8f53fbf8…47ba0。

验证文件按下面的顺序读。

sbc：从先验抽的 2000 条记录上的秩直方图。尾部概率频率是 $0.462$ ，衰减时间是 $0.800$ 。
wellSpecifiedSummary：网络和网格在 $0.05$ 到 $0.95$ 各个水平上的覆盖率；重要性采样效率中位数 $0.966$ ；与网格的 Jensen-Shannon 散度中位数 $0.0045$ 奈特；残差检验标出 $0.9\%$ 的记录。
conditionalAndHeldOut：九组、每组 400 条记录。三个噪声区间和短衰减时间在训练范围内；两个噪声水平在训练范围外；三类失配训练时从没出现过。
labPresetsAtFixedSource：Lab 的六个预设，每个 400 条记录，Lab 把它们画成虚点参考线。

每个覆盖率都附有 Wilson 95% 区间。400 条记录时，覆盖率在 $0.9$ 附近的区间约为 $\pm0.03$ ，比这更大的差别才算数。

保留下来的失败

失败记录里有六条。对重做这项工作的人来说，最要紧的是两条。

第一条是抽样程序的错误。网络的抽样程序起初用错了相关项，一维秩检验却照样通过，尾部概率是 $0.462$ 和 $0.781$ 。把抽样结果的矩和密度函数本身的矩一比才发现，误差 $0.223$ ，修好后降到 $0.0038$ 。边缘分布上的 SBC 看不见错误的相关性。

第二条是这里任何一项检查都发现不了的局限。模型外强度 $0.6$ 的第二模式，让两种后验的 90% 覆盖率都降到约 $0.74$ ，而重要性采样效率仍在 $0.98$ 左右，残差检验只标出约 6% 的记录。其余几条记的是：粗糙的求积公式把秩直方图预测错了；低信噪比时费希尔极限失效；某个 NumPy 构建报出的假矩阵警告。

做自己的模拟推断时可以对照的清单

先在写得出后验的模型上校准，并在模拟之前就预测错误后验的直方图。
记下随机种子、版本、耗时和文件指纹；失败的那次运行留着，不要换种子重跑。
参照用的后验本身，也要拿一个极限和一个独立的抽样器去核对。
检验联合覆盖率，拿抽样结果对照密度本身，不要只看一维的秩。
按参数空间的区域、按噪声水平，分开统计覆盖率。
跑留出的和失配的记录，写明每一种分别被哪项检查标出。