不同位置的气体怎样挤进同一段光谱

先把膨胀流和本动速度分开

仍让观察者位于负方向，正方向表示远离观察者。气体随整体宇宙膨胀产生退行速度，也可以相对膨胀流运动；后者叫本动速度。对一片固定红移的薄区域，两部分相加，给出每个共动位置在光谱里的速度中心。

下式中的 $H_{\mathrm{cos}}$ 是哈勃膨胀率， $a_{\mathrm{cos}}$ 把共动距离换成实际距离， $v_{\mathrm{pec},x}$ 是本动速度沿视线的分量。正的本动速度把吸收向更红的一侧移，负值则向更蓝的一侧移。

如果没有本动速度，这张图是一条斜直线：沿视线走得更远，退行速度便增加。有了本动速度，曲线可以变缓、变陡，也可以局部折回。图的横轴还是空间位置；纵轴才是这片气体的谱线速度。

u(x)=a_{\mathrm{cos}}H_{\mathrm{cos}}x+v_{\mathrm{pec},x}(x)

位置采用共动距离，速度按远离观察者为正。换算单位后，膨胀项与本动项才能相加。

现在暂用实际距离 $s$ ，在一段单调曲线上比较两个小速度区间。如果曲线很陡，一小段速度只对应很短的空间路径；曲线平缓时，同样的速度宽度会收进更长的气体。

曲线的斜率 $\mathrm du/\mathrm ds$ 描述每走一点实际距离，退行速度改变多少。反过来，给定一个小速度宽度，能装进的路径长度与斜率的绝对值成反比。中性氢密度相同，较平缓的地方便给这个速度范围送入更多柱密度。

为了把关系写清，先把完整线型理想成一枚面积不变、宽度趋零的尖峰；热宽和自然宽在这个数学极限里都被忽略。若某个速度对应几个彼此分离、斜率非零的位置，就把这些位置的贡献逐个加起来。

纯哈勃流里，这个斜率就是哈勃率。密度再取均匀，窄线式便回到上一章的均匀Gunn–Peterson关系，两种推理的单位和权重一致。

\tau_{\mathrm{narrow}}(v)=S_v\sum_{s_i:\,u(s_i)=v}\frac{n_{\mathrm{HI}}(s_i)}{|\mathrm du/\mathrm ds|_{s_i}}

求和遍历所有满足所选速度的位置。数密度用每立方厘米、距离用厘米、速度用厘米每秒时，分母单位是每秒。这个式子要求每个交点的斜率非零。

当曲线在某处变平，窄线式的分母会趋近零。这表示刚才的理想化不再适用：它把有限宽的吸收挤成了无限窄的尖峰。真实原子的速度分布与自然线宽仍然存在。

实际算法继续沿空间走，把每一小段的完整Voigt截面相加。相邻小段可以共享相似速度，它们仍是有限数量的原子，截面峰值也有限。速度曲线折回时，正向积分仍沿原来的空间路径相加。

同一个位置在这里始终只有一个规定的整体速度。发生折叠的是“位置到谱线速度”的图，不是计算出气体在同一位置有几股互相穿过的流。折回图形本身也没有给出碰撞、激波或气体动力学演化。

\tau(v)=\int n_{\mathrm{HI}}(s)\,\sigma_v[v-u(s)]\,\mathrm ds

有限线宽在积分中保留。每一段的位置、密度和速度都从同一条空间视线读取。

只改变本动速度，保持同一条视线、中性氢和温度不变，柱密度就不变。若把整条线型在全部速度上积分，光学深度曲线的面积也不变：速度只把贡献搬到别处。

透射比例却是光学深度的指数函数。把两份吸收搬到一起，可能让已经很暗的地方更暗，同时让原来分开的另一段光通过。相同柱密度可以有不同的平均透射，差别来自吸收怎样叠在一起。

用两条理想矩形线计账：每条宽 $w$ 、光学深度为1。它们分开时，两块缺光面积相加；完全重叠后，同一块宽度里光学深度为2。下式给出两种缺光面积，重叠的一组较小。矩形只是算例，不是这里用来合成氢谱线的形状。

固定气体样例也显示了这种区别。在同一个有限速度窗内，本动速度强度为零时，601个样点的平均透射约为66.8%；强度加到二时约为72.6%。两者的中性氢柱密度都是约 $4.65\times10^{14}\,\mathrm{cm^{-2}}$ 。这些数来自规定气体场，速度窗和取样方式也属于比较条件。

\begin{aligned}W_{\mathrm{sep}}&=2w(1-e^{-1})\simeq1.264w\\W_{\mathrm{ov}}&=w(1-e^{-2})\simeq0.865w\end{aligned}

W

是按速度积分的缺光面积；矩形宽度

w

若用千米每秒，

W

也用千米每秒。光学深度面积在这两个算例里相同。 sep表示分开，ov表示完全重叠。

正向问题有明确顺序：给出空间中的气体与运动，再算光谱。反过来只知道一个凹谷，可能有多种解释：较多的中性氢、较平缓的速度映射，或几处重叠的贡献。温度还会改变每份贡献的宽度。

沿相邻的视线取样，可以得到不同的密度与速度组合。研究者也会比较多条跃迁、统计分布和数值模拟，逐渐限制可能的气体历史。每一种新增信息，都需要说明它实际约束了哪个未知量。

把纸上的图旋转，不会改变望远镜已经收到的频率。先固定真实的观察方向，再分清空间坐标与谱线速度，便能把光谱里的“挤在一起”还原成一个清楚的物理问题。