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Sandbox Physics
莱曼阿尔法森林

莱曼阿尔法森林 · L2

从一片氢算到一条吸收谱

Sandbox Physics ·

一片气体怎样变成光谱上的凹谷，可以分成三步：计算其中有多少中性氢，计算这些原子会吸收哪些速度对应的光，再沿真实光路相加。每一步保留自己的单位，最后得到无量纲的光学深度和透射比例。

先把原子数和光路长度放到一起

令观察者位于负方向，光从正方向走来。用xx标记沿视线的共动位置；它把宇宙整体膨胀从坐标网格中分离出去。先只看一小段实际长度ds\mathrm ds，中性氢数密度nHIn_{\mathrm{HI}}表示每立方厘米有多少中性原子。

一个原子对所选光的吸收作用，用截面σ\sigma表示，单位是平方厘米。可以把它想成有效的迎光面积，但它依赖光的波长，并不是给原子画一个固定半径。密度、截面与小段长度相乘，正好没有单位，这就是该段的光学深度。

若中性氢密度在一段路上不变，密度乘长度得到柱密度NHIN_{\mathrm{HI}}，单位是每平方厘米。取一个理想例子：每立方厘米含10−1010^{-10}个中性氢，实际长度为两百万秒差距，即约6.17×1024 cm6.17\times10^{24}\,\mathrm{cm}，柱密度便约为6.17×1014 cm−26.17\times10^{14}\,\mathrm{cm^{-2}}。这只是计数例子，尚未规定这些原子的速度。

dτ=nHIσ dsNHI=∫nHI ds\begin{aligned}\mathrm d\tau&=n_{\mathrm{HI}}\sigma\,\mathrm ds\\N_{\mathrm{HI}}&=\int n_{\mathrm{HI}}\,\mathrm ds\end{aligned}
积分就是把路径上每个小段的贡献相加。非均匀气体需要让密度随位置变化。

对应阅读：Tepper García, Voigt profile fitting to quasar absorption lines, arXiv:astro-ph/0602124v1 · Independent hydrogen and sightline calculation materials

从总氢数求出仍带电子的那部分

气体输入常给的是总氢数密度nHn_{\mathrm H}。设中性比例为fHIf_{\mathrm{HI}}，则中性数密度是两者的乘积。先采用纯氢、均匀辐射和局部电离平衡：平均每个中性原子以Γphoto\Gamma_{\mathrm{photo}}的速率被电离，电子和质子以复合系数α(T)\alpha(T)重新结合。

纯氢带电部分的电子与质子数密度相同，都是总数密度乘以电离比例。把它们代入电离与复合的平衡式，就得到下方的无量纲关系。这里RR是复合相对电离的强弱。

在中性比例很小时，电离比例接近一，可以先估算中性比例约等于RR。固定温度和辐射背景，把总氢密度加倍，参与复合的电子、质子配对数约增为四倍，因此中性氢数密度也约增为四倍。这个平方关系有条件：气体接近中性时，原来的小比例估算就要换回完整方程。

实际计算采用Verner与Ferland的总辐射复合系数，保留它的温度依赖。这是A情形的约定：计入复合到各能级的总速率，不再追踪复合光子的再吸收。电离背景在这片有限区域里是规定输入，没有另行求解电离光子的传播或自屏蔽。

fHI=R(1−fHI)2R=α(T)nHΓphoto\begin{aligned}f_{\mathrm{HI}}&=R(1-f_{\mathrm{HI}})^2\\R&=\frac{\alpha(T)n_{\mathrm H}}{\Gamma_{\mathrm{photo}}}\end{aligned}
复合系数的单位是立方厘米每秒，光致电离率的单位是每秒，所以RR没有单位。完整解取零到一之间的物理解。

对应阅读：Verner & Ferland, Atomic Data for Astrophysics: Radiative Recombination Rates, arXiv:astro-ph/9509083v1 · Independent hydrogen and sightline calculation materials

同一批原子也会吸收一段速度范围

即使整片气体没有整体运动，原子也在热运动。令bb表示热多普勒宽度，它随温度的平方根增长。这里用质子质量近似氢原子质量。bb与速度分布的标准差不同，后者小一个根号二。

自然线宽来自激发态有限的寿命，热运动则带来近似高斯的速度分布。把两种作用卷积，便得到Voigt线型；卷积在这里是对各种原子速度对应的吸收贡献加权相加。自然线翼不会突然在某个速度变成零。

用H(a,w)H(a,w)表示Voigt函数，ww是相对气体速度除以热宽的无量纲偏移，aa衡量自然线宽相对热宽的大小。其面积约定为∫H(a,w) dw=π\int H(a,w)\,\mathrm dw=\sqrt{\pi}。把总线强SvS_v除以热宽，便得到正确归一化的截面。

这里的自然衰减率Γline\Gamma_{\mathrm{line}}属于原子激发态；上一节的Γphoto\Gamma_{\mathrm{photo}}属于环境电离。调强背景辐射会改变中性原子有多少，并不改变这条原子跃迁本身的寿命。

b=2kBTmpa=Γlineλ04πbσv(Δv)=SvπbH ⁣(a,Δvb)\begin{aligned}b&=\sqrt{\frac{2k_{\mathrm B}T}{m_p}}\\a&=\frac{\Gamma_{\mathrm{line}}\lambda_0}{4\pi b}\\\sigma_v(\Delta v)&=\frac{S_v}{\sqrt{\pi}b}H\!\left(a,\frac{\Delta v}{b}\right)\end{aligned}
波尔兹曼常数、质子质量和静止波长分别记为kBk_{\mathrm B}、mpm_p和λ0\lambda_0。所有速度在积分中使用同一单位；SvS_v的单位是截面乘速度。

对应阅读：Tepper García, Voigt profile fitting to quasar absorption lines, arXiv:astro-ph/0602124v1 · Independent hydrogen and sightline calculation materials

把共动网格换成实际光路

共动坐标便于描述一块随宇宙整体膨胀的网格，原子密度的单位却对应当时的实际体积。两者之间靠尺度因子acos=1/(1+z)a_{\mathrm{cos}}=1/(1+z)连接。这里另写下标，避免与Voigt阻尼参数混淆。

在红移为三的薄区域里，尺度因子为四分之一。宽八百万秒差距的共动区域，对应当时两百万秒差距的实际长度。若直接把共动小段代进吸收积分，光路就会被多算四倍。

还要为每个位置给出退行速度u(x)u(x)。气体整体膨胀加上本动速度，决定这段原子对哪个谱线速度vv最敏感。下一章专门看这张位置到速度的映射；现在只需把它作为每段气体已有的输入。

总吸收按空间区间的正长度累加。光实际从正方向走向负方向，这只决定沿途先在哪一段变暗，不会把光学深度变成负数。

ds=acos dxτ(v)=∫nHI(x) σv[v−u(x)] acos dx\begin{aligned}\mathrm ds&=a_{\mathrm{cos}}\,\mathrm dx\\\tau(v)&=\int n_{\mathrm{HI}}(x)\,\sigma_v[v-u(x)]\,a_{\mathrm{cos}}\,\mathrm dx\end{aligned}
共动位置若以百万秒差距给出，进入厘米制截面前，还要换成厘米。薄区域内固定同一个红移与尺度因子。

对应阅读：Peeples et al., Pressure Support versus Thermal Broadening in the Lyman-alpha Forest, arXiv:0910.0256v3 · Independent hydrogen and sightline calculation materials

先相加吸收，再计算剩下的光

计算时，对每个要读的谱线速度，走完同一条实际路径。每个小段先提供一份光学深度；把它们相加，最后再取指数得到透射比例。直接对各段的透射率取平均，会把先后相接的气体误当成了并排的不同光路。

例如两段在某个速度上的光学深度分别为0.3和0.7，总光学深度为1，最后约有36.8%的背景光通过。即使交换两段的顺序，这个纯吸收结果也不变；沿途逐步变暗的位置顺序则会交换。

莱曼α线很深，也不要求气体把电离背景全部挡住。谱线中心的吸收截面可以远大于电离阈值附近的连续谱截面。少量中性氢就能留下很深的窄线，同时对电离连续谱仍较透明。这里检查的是有限区域的电离光学深度上界，不能由此推断整个宇宙都处于相同近似。

τtotal(v)=∑jΔτj(v)F(v)=exp⁡[−τtotal(v)]\begin{aligned}\tau_{\mathrm{total}}(v)&=\sum_j\Delta\tau_j(v)\\F(v)&=\exp[-\tau_{\mathrm{total}}(v)]\end{aligned}
求和在取指数之前完成。这里忽略向所选窄光束补入的发射与散射光。
默认视线保存的规定中性氢密度、积分光学深度与透射比例
自有红移三有限气体屏幕。密度横轴是空间位置，后两幅横轴是谱线速度；光学深度与透射比例来自同一条完整Voigt积分，没有拟合实测类星体。 查看完整图像

对应阅读：Tepper García, Voigt profile fitting to quasar absorption lines, arXiv:astro-ph/0602124v1 · Independent hydrogen and sightline calculation materials

用一个可以自己算完的极限收尾

设中性氢密度均匀，没有本动速度，气体只随哈勃流膨胀。若介质沿视线无限延伸，每种谱线速度都会遇到一整份相同的线型。把实际距离换成哈勃速度，积分就只剩截面的总面积。

这给出均匀Gunn–Peterson极限：光学深度由中性氢密度、总线强和哈勃率决定。下式里的HcosH_{\mathrm{cos}}是每秒为单位的宇宙膨胀率，与Voigt函数H(a,w)H(a,w)是两个不同对象。

有限光路会漏掉远处气体的线翼贡献，不能要求它与无限介质完全相同。检查时，应先比较独立的有限积分，再量出有限边界与无限极限之间的差。增加空间积分点数可以减小离散误差，却不会把被模型边界排除的气体补回来。

τGP=nHISvHcosSv=∫−∞∞σv(v) dv\begin{aligned}\tau_{\mathrm{GP}}&=\frac{n_{\mathrm{HI}}S_v}{H_{\mathrm{cos}}}\\S_v&=\int_{-\infty}^{\infty}\sigma_v(v)\,\mathrm dv\end{aligned}
这里的数密度与距离都是实际量。均匀无限介质只是检验单位与积分归一化的解析参照。

对应阅读：Peeples et al., Pressure Support versus Thermal Broadening in the Lyman-alpha Forest, arXiv:0910.0256v3 · Independent hydrogen and sightline calculation materials

练习与解释性答案

  1. 固定温度与电离背景，总氢密度加倍时，中性氢一定加倍吗？

    展开解释

    在中性比例很小的极限，中性氢约增为四倍，因为电子与质子的复合配对数都随总密度增加。接近中性时需解完整平衡式，不能继续套平方近似。

  2. 红移三时，把八百万秒差距的共动长度直接当成实际光路，会怎样影响光学深度？

    展开解释

    在其余输入固定时，实际长度应是四分之一；错误做法把光路和光学深度多算四倍。

  3. 把有限路径的积分点数翻倍后，为什么仍可能与无限Gunn–Peterson极限不同？

    展开解释

    有限边界之外的气体没有进入模型。更细的积分只能改善已有路径的离散计算，不能补上被排除的线翼贡献。

动手检验预测

把中性比例与线宽一起读出来

  1. 保持视线位置不变，先预测增加电离率会使谱线怎样变化，再改变它。
  2. 只提高温度，比较柱密度与热宽为何同时变化。
  3. 对比密度图与透射谱，找一处很深的线心，观察它的两侧是否比中心更容易变化。

来源与计算范围

  1. Verner & Ferland, Atomic Data for Astrophysics: Radiative Recombination Rates, arXiv:astro-ph/9509083v1

    定向核读式4、参数表中的氢行与速率定义。纯氢A情形辐射复合用于五千至三万开尔文；没有求解氦、碰撞电离、自屏蔽或完整电离网络，没有声称核读每种离子。

  2. Tepper García, Voigt profile fitting to quasar absorption lines, arXiv:astro-ph/0602124v1

    定向核读式1至8，确认洛伦兹与麦克斯韦卷积及归一化。这里计算完整Voigt函数，没有在超出范围时使用论文的小阻尼近似。原子常数注明为舍入假设，用质子质量近似氢原子质量。

  3. Peeples et al., Pressure Support versus Thermal Broadening in the Lyman-alpha Forest, arXiv:0910.0256v3

    定向阅读摘要、第2至3节与式6至7：光电离平衡、均匀Gunn–Peterson光深、热展宽与压力历史的区别。没有复现流体模拟，也没有把局部阅读称为全文核读。

  4. Independent hydrogen and sightline calculation materials

    自有指定周期气体屏幕与线性母扰动特殊速度，固定红移三，没有演化压力流体。完整Voigt积分经过独立SciPy与有限网格细化比较。离线Python与自有合成例子独立于受保护浏览器引擎。

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