给流动波两个可以增长的方向

选一个均匀漂移背景

仍用局部转动坐标与相对 Kepler 剪切的速度。现在气体背景均匀、不可压，恒定径向压强加速度维持漂移平衡，没有预先准备的气压峰。两种背景速度记为 $\mathbf U_{\rm g}$、$\mathbf U_{\rm d}$，相对漂移为 $\mathbf W=\mathbf U_{\rm d}-\mathbf U_{\rm g}$。

气体速度扰动记 $\mathbf a$，尘埃速度扰动记 $\mathbf b$，相对尘埃密度扰动为 $\delta=\delta\rho_{\rm d}/\rho_{{\rm d},0}$。不可压气体的密度保持不变，停止时间也固定。不加入垂直引力、沉降或自引力。

对应阅读：Youdin & Goodman 2005, Streaming Instabilities, arXiv v1 · Youdin & Johansen 2007, Linear Evolution and Numerical Methods, v1

保留密度对反馈的贡献

展开气体阻力加速度 $\epsilon(1+\delta)(\mathbf W+\mathbf b-\mathbf a)/t_{\rm stop}$，扣去平衡项，再忽略两个扰动的乘积，余下 $\mathbf b-\mathbf a+\delta\mathbf W$。最后一项很关键：一处尘埃变密，就算它还没改变速度，对气体的拖动也会改变。

定义背景平流导数 $D_j=\partial_t+U_{j,x}\partial_x$，以及科里奥利与 Kepler 剪切算符 $\mathcal C\mathbf q=(2\Omega q_y,-\Omega q_x/2,0)$，便得到线性方程。

对应阅读：Youdin & Goodman 2005, Streaming Instabilities, arXiv v1 · Benítez-Llambay, Krapp & Pessah 2019, FARGO3D multifluid tests, v3

把空间波化成一个小矩阵

把真实扰动写成 $\widehat f\exp[\sigma t+i(k_xx+k_zz)]$ 的实部。复振幅中的两个实数，分别给余弦与正弦加权。空间导数变成乘 $ik_x$ 或 $ik_z$，时间导数变成乘 $\sigma$，其实部就是增长率。

压强不必再作为一个演化变量。对 $\mathbf k=(k_x,0,k_z)$，将气体加速度投影到垂直于 $\mathbf k$ 的平面，强制满足 $\mathbf k\cdot\mathbf a=0$。气体在径向—垂直平面里剩一个振幅，方位向还有一个；再加尘埃三个速度与一个密度，共六个状态。

对应阅读：Youdin & Goodman 2005, Streaming Instabilities, arXiv v1

为什么只有径向堵车不够

若 $k_z=0$，不可压条件迫使气体径向扰动为零，增长的长期流动模式便失去所需运动。原论文第5.1节说明，这个极限中完整方程没有增长模式。

预先存在的气压峰，仍可以把两侧固体往一起送，形成径向集中。这与“均匀漂移背景上的无限小扰动是否增长”是另一项问题。若用密度决定的稳态漂移速度，替换完整速度方程，得到的是输运与波形变陡。

加入垂直变化，气体就能在保持不可压的同时径向移动。方位速度也必须保留，因为转动动力学依靠它交换角动量。两个空间变化方向仍然携带三个速度分量。

对应阅读：Youdin & Goodman 2005, Streaming Instabilities, arXiv v1 · Youdin & Johansen 2007, Linear Evolution and Numerical Methods, v1

完整算例：一条增长模式

取 $\mathrm{St}=0.1$、$\epsilon=3$ 与 $K_x=K_z=30$，其中 $K_j=k_j\eta r$。时间以 $1/\Omega$、速度以 $\eta v_{\rm K}$ 归一。完整不可压六状态问题给出 $\sigma/\Omega=0.41903111-0.34801854i$。

相对尘埃振幅从 $10^{-6}$ 出发，在 $10/\Omega$ 后达到 $6.6043\times10^{-5}$，增长66.043倍。e倍增长时间为 $2.3865/\Omega$，约为0.380个轨道周期。一个轨道周期是 $2\pi/\Omega$，与角频率倒数混用，会差 $2\pi$ 倍。

为便于观看，浏览器从仍然较小的 $0.005$ 振幅出发，积分到约 $0.1$ 就停止。默认增长本征模式从种子到这个边界约需 $7.149/\Omega$。这条边界表示线性演示的范围。

对应阅读：Youdin & Goodman 2005, Streaming Instabilities, arXiv v1 · Youdin & Johansen 2007, Linear Evolution and Numerical Methods, v1

比较相应的发表基准

Youdin 与 Goodman 原计算采用不可压气体。Youdin 与 Johansen 2007 表1加入弱压缩，给出邻近增长率。Benítez-Llambay、Krapp 与 Pessah 2019 表4和附录E保留了 $\rho_{\rm d}/\rho_{\rm g}$ 扰动，完整弱可压 LinA 增长率为 $0.4190091323\Omega$，LinB 为 $0.0154862262\Omega$，教程会独立复算。

2019原文第3.5.3节式86，将与2007表格的小差别追到两个气体密度反馈项。比较时要分清系统与约定。2019的时间因子为 $e^{-\omega t}$，所以其本征值是这里的 $-\sigma$。比较本征向量，还要把绝对或相对尘埃密度振幅归一到同一种定义。

对应阅读：Benítez-Llambay, Krapp & Pessah 2019, FARGO3D multifluid tests, v3 · Youdin & Johansen 2007, Linear Evolution and Numerical Methods, v1

把混合作为新增假设

一个简单教学扩展，是对全部演化扰动加相同的 $D\nabla^2$。对 Fourier 模式，每个本征值都减去 $Dk^2$。上述单位下，$D=10^{-3}$、两个波数都为三十，就减去 $1.8\Omega$，LinA 随之衰减。

真实湍流模型还需分别说明气体粘性、尘埃扩散、速度弥散，以及沉降怎样改变局部密度比。这些量未必共享同一个系数。相同扩散的例子展示尺度相关平滑；完整盘模型与微行星形成阈值，需要继续向前读。

对应阅读：Umurhan, Estrada & Cuzzi 2020, Streaming Instability in Turbulent Disks, v4 · Li & Youdin 2021, Thresholds for Particle Clumping, v2