气泡上浮时把多少焓交给周围

先只算一个气泡

从星系团中心向外量距离 $r$ ，向外为正。气泡体积为 $V$ ，内部能量为 $U$ 。压强 $p$ 采用帕斯卡，体积采用立方米，功与能量采用焦耳。外界引力的大小 $g$ 为正，方向朝内。

假设气泡比周围气体轻，膨胀和上升时都能近似保持压力平衡；气泡内部采用理想状态方程。比热比描述气体受压时内能怎样变化。这里气泡的比热比取三分之四；外部单原子热气体的比热比则是三分之五，两者不可互换。

U=\frac{pV}{\gamma_b-1},\qquad H\equiv U+pV=\frac{\gamma_b}{\gamma_b-1}pV

内能之外，气泡还必须推开外界，腾出自己占据的体积。内能加上这项排开介质的功，就是焓。

把比热比三分之四代入，内能等于三倍压强乘体积，再加一份排开气体的功，就得到四倍。这里算的是一个空腔；一对空腔应分别计算后相加。

这种估算把空腔的组成放进了一个状态方程。相对论性粒子占主导时，三分之四是常用近似；若改用普通单原子气体，系数会变成二点五。观测上估计体积与周围压强的误差，也会直接影响焓。

\gamma_b=\frac43\quad\Longrightarrow\quad U=3pV,\qquad H=4pV

系数四来自内部状态方程，图像则帮助估计体积。

气泡脱离源之后，先忽略与外界交换热和物质。第一定律说，气泡膨胀所做的功来自内部能量；把很小的体积变化代进去，可以得到绝热关系。

dU=-p\,dV\quad\Longrightarrow\quad pV^{\gamma_b}=\mathrm{constant}

这里假定内部比热比不变，变化足够缓慢以保持压力平衡。

\frac{V}{V_d}=\left(\frac{p_d}{p}\right)^{1/\gamma_b},\qquad\frac{H}{H_d}=\left(\frac{p}{p_d}\right)^{(\gamma_b-1)/\gamma_b}

下标表示脱离时的值。体积增长抵消了部分压强下降，因此焓下降得比压强慢。

\gamma_b=\frac43:\qquad\frac{H}{H_d}=\left(\frac{p}{p_d}\right)^{1/4}

外界压强减半，焓保留约百分之八十四点一，已经交出的部分约为百分之十五点九。

取一个示例：脱离时压强为 $5.00\times10^{-11}\,\mathrm{Pa}$ ，体积为 $1.00\times10^{60}\,\mathrm{m^3}$ 。它的初始焓为 $2.00\times10^{50}\,\mathrm J$ 。这组给定的示例参数用来演示计算步骤。

当外界压强降到一半，体积增长到原来的约一点六八二倍。若形状仍近似球形，半径增长到约一点一八九倍。此时焓约剩一点六八二乘十的五十次方焦耳，减少的约三点一八乘十的四十九次方焦耳已经可以带动周围气体。

外部大气若接近静水平衡，压强梯度支撑着气体的重量。对绝热气泡求微分，能直接看到焓的减少与浮力做功的联系。

\frac{dp}{dr}=-\rho g,\qquad dH=V\,dp\quad\Longrightarrow\quad-\frac{dH}{dr}=\rho gV

右侧是气泡排开气体的重量。它说明释放了多少机械能，尚未规定这些能量多快变成热。

\dot K=-\frac K\tau,\qquad Q(t)=E_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)

这只是一个给定耗散时标的模型：一笔能量先进入尾流运动，再逐渐转成热。一个时标后约百分之六十三点二已热化，剩下的仍在运动中。