把径向输运和辐射冷却放到一起算

半径、壳层和比较的时间都要固定

向外的半径为 $r$ 。第一个壳层从中心开始，之后每层由内、外半径定义。壳层内的辐射功率用瓦，累积损失用焦耳。比较两条曲线时，采用相同的外边界 $R$ 和相同的起止时间。

功率描述此刻每秒传出多少能量，能量则描述某段时间累积了多少。把一场短爆发的总焓直接与持续辐射的功率相比，单位就不对。可以把焓除以明确的时间，或把辐射功率在同一时间内积分。

L_{{\rm rad},k}(t)=\int_{r_k}^{r_{k+1}}\epsilon(r,t)\,4\pi r^2dr,\qquad E_{{\rm rad},k}=\int_{t_0}^{t_1}L_{{\rm rad},k}(t)\,dt

体积因子把局部每立方米的辐射换成整层功率，再沿时间累积。

对应阅读：Rafferty et al. (2006)

密度加倍，冷却会怎样

纯氢完全电离后，每个质子对应一个电子。电子与离子都贡献热压强；自由—自由辐射的碰撞机会则随电子密度和离子密度的乘积增加。固定温度时，密度加倍，单位体积内能加倍，辐射却增加到四倍。

u=3n_e k_BT,\qquad\epsilon_{\rm ff}=n_e^2\Lambda_{\rm ff}(T),\qquad t_{\rm cool,U}=\frac{u}{\epsilon_{\rm ff}}

这里定义的是内能除以辐射功率的局部时间。采用焓或其他气体成分时，冷却时间的系数会改变，读取论文时应先查看定义。

同温度下的变化	原值的倍数
电子密度	2
单位体积内能	2
单位体积辐射功率	4
这里定义的冷却时间	0.5

气泡经过和热出现，可以相隔很久

每个壳层接收气泡在其中上浮时释放的焓。把这部分先存为尾流运动，再以一个给定时标耗散，就能分别追踪“已经交出去”与“已经成为热”。同一条路径，在较长耗散时间下会留下更多运动能量、更少热。

\dot K_k=\dot W_k-\frac{K_k}{\tau_d},\qquad\dot Q_k=\frac{K_k}{\tau_d}

流入尾流的是气泡释放的功率，流出尾流的是热化功率。逐层相加后，这种传递保留总能量。

H_{\rm pair}(t)+\sum_k\bigl[K_k(t)+Q_k(t)\bigr]=0.95E_{\rm in}(t)

这是配套规定源例子的气泡分支。这条关系描述气泡、尾流和热之间的转移，背景气体在此维持给定温度。

把一份输入分开，只能用一次

为比较气泡与温和热脉冲，例子把总输入的百分之九十五交给气泡，百分之五暂存，并在第十八至十九百万年释放到中心三千秒差距内。这个比例是教学设定。气体随后按球对称欧拉方程演化，同时受到引力和辐射冷却影响。

平均总功率取 $10^{43}\,\mathrm{erg\,s^{-1}}$ ，输入持续十八百万年，累积总能量为 $5.680368\times10^{50}\,\mathrm J$ 。气泡分支得到 $5.3963496\times10^{50}\,\mathrm J$ ，中心热脉冲得到 $2.840184\times10^{49}\,\mathrm J$ 。两部分相加正好回到总输入。

不能先让气泡用掉百分之百，再额外加百分之五热源；也不能把气泡已释放的尾流能量重复计入欧拉气体。这里两项计算共用初始大气与总输入，暂时不求解彼此的反作用。

对应阅读：Sandbox Physics

用匹配的纯冷却气体辨认这列波

热脉冲很弱，背景却一直在冷却和缓慢调整。只看总速度，可能把原本向内的冷却运动也算进波里。为此，从同一初态再算一份只有冷却、没有热脉冲的气体；在同一时刻、同一体积平均网格上比较两者。

差值帮助辨认压强扰动和速度变化，但两份解都是非线性演化的结果。换一个源功率，需要重新求解，不能把这份差值按功率放大。在六千万年末端，实际空间比较的最大相对误差约为百分之三点三二，同网格半时间步比较约为百万分之四点八六。

这些检查接纳了这组温和波的数值结果。是否把热送到需要的半径、是否在多个爆发周期里稳定补充损失，则要继续引入气体回流、耗散方式和源响应。下一步可以先用真实空腔表格，检查能量与时间的数量级。

对应阅读：Sandbox Physics · Rafferty et al. (2006)

把径向输运和辐射冷却放到一起算

半径、壳层和比较的时间都要固定

密度加倍，冷却会怎样

气泡经过和热出现，可以相隔很久

把一份输入分开，只能用一次

用匹配的纯冷却气体辨认这列波

亲手观察

固定时刻比较运输和热

练习与答案

一手来源与计算说明