磁通什么时候跟着等离子体走

先给随气体走的线圈定方向

在气体里选一圈带标记的流体微团，连成闭合曲线。曲线上各点都跟随当地的整体流速运动。再选一张以它为边界的面，给面规定正法向，右手定则就确定了绕边界的正方向。

磁通 $\Phi_B$ 把穿过这张面的磁场法向分量累加起来，单位是韦伯。平行于面的磁场没有贡献。若场处处均匀、垂直穿面，磁通就是场强乘面积。

这样的物质线圈跟着气体走。实验室里固定不动的窗口则是另一个对象：气体带着磁场进进出出，穿过固定窗口的磁通当然可能改变。

\Phi_B(t)=\int_{S(t)}\mathbf B\cdot d\mathbf S

曲面随其流体边界移动，带方向的面积元决定磁通正负。

边界固定时，法拉第定律把磁通变化与绕边界的电场联系起来。边界一旦移动，还会扫过新的磁场面积。把短时间内扫过的窄条累加，就得到运动项；两项都沿同一边界方向取符号。

电场 $\mathbf E$ 用伏每米，流速 $\mathbf v$ 用米每秒，磁场 $\mathbf B$ 用特斯拉。叉乘给出同时垂直于流速和磁场的方向，所得量与电场同单位。

在理想MHD的非相对论描述里，随当地整体流体运动所见的电场为零。下面积分中的量便为零，物质线圈携带的磁通保持不变。这个结论要求场足够光滑，也要求流体运动有良好定义。

\frac{d\Phi_B}{dt}=-\oint_{\partial S(t)}(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)\cdot d\boldsymbol\ell

负号来自已选定的曲面与边界方向。物质线圈沿整条边界取当地流速。

\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B=0\quad\Longrightarrow\quad\frac{d\Phi_B}{dt}=0

光滑的理想演化把磁通冻结在移动的物质线圈里。

取均匀的标量电阻率 $\eta_{\rm e}$ ，单位是欧姆米。电阻流体模型把非理想电场与电流密度 $\mathbf J$ 联系起来。再结合低频近似的安培定律和法拉第定律，便得到磁扩散项。

磁扩散率 $\eta_{\rm m}$ 的单位是平方米每秒。它等于电阻率除以真空磁导率；同一个数不能不换单位就填进两个位置。

举一个指定材料参数的假想例子：电阻率取百万分之二欧姆米，磁扩散率约为每秒1.59平方米。若场变化的长度尺度为十米，扩散时间量级约六十三秒。这里估算的是均匀扩散的尺度。

\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B=\eta_{\rm e}\mathbf J,\qquad\eta_{\rm m}=\frac{\eta_{\rm e}}{\mu_0}

电阻率乘电流密度给出电场，磁扩散率则进入感应方程。

\partial_t\mathbf B=\nabla\times(\mathbf v\times\mathbf B)+\eta_{\rm m}\nabla^2\mathbf B,\qquad\tau_{\rm diff}\sim\frac{L^2}{\eta_{\rm m}}

这里取恒定标量磁扩散率，并使用磁场散度为零。拉普拉斯项抹平所选长度尺度上的变化。

若磁场不随第三个坐标改变，可以引入磁势 $\psi$ ，用它的两个导数给出平面磁场。这个定义自动让磁场没有散度；磁场与磁势梯度的点积也为零，等磁势线便沿着磁场走。

磁势的单位是场强乘长度。两条等值线之间的磁势差，给出单位不变方向深度上的带符号磁通，正负仍由取面的方向决定。流体微团走哪条路，则由速度场决定。

标量感应方程把理想输运和扩散放在同一行：理想极限下，跟着一个流体微团走，磁势值保持不变。电阻项允许它改变。数值章节会在磁场恰好为零的地方检验这个局部结论。

\mathbf B=(\partial_y\psi,-\partial_x\psi,0),\qquad\mathbf B\cdot\nabla\psi=0

坐标取右手系，第三个坐标是不变方向。

\frac{D\psi}{Dt}\equiv\partial_t\psi+\mathbf v\cdot\nabla\psi=\eta_{\rm m}\nabla^2\psi

物质导数把定点处的变化和流体输运造成的变化加在一起。

现在允许一小片理想流体压缩，并让线圈始终垂直于均匀磁场。面积减半、场强加倍，磁通仍然相同。真正保持的是带方向的面积积分，场强本身可以变化。

交互模型选取更窄的二维不可压缩情形。四个算例沿同一坐标与初始磁势，比较理想输运和电阻扩散。移动金色测量探针，会改变我们查看的位置。

\Phi_B'=B'A'=(2B)(A/2)=BA

例题允许压缩；移动线圈的磁通关系同时适用于可压缩和不可压缩理想流体。