从两条轨道推导一小块星环的运动

先减去参考轨道，再做展开

在参考半径处，圆轨道平衡给出下式中的角频率。把邻近半径写成参考半径加上一个很小的向外位移，再对角频率做一阶展开。在转动系中，将角速度差换成局部方位速度时，使用参考半径这个周长因子；丢掉的修正相对于环片尺度与轨道半径之比是二阶小量。

负号有明确方向：向外位移为正的粒子，在顺行坐标中相对落后。拖动卫星相对采样环条的位置，可以让坐标原点跟随另一条卫星轨道。模型的径向坐标始终从这条卫星圆轨道量起，画面上的偏移不表示把一个天体强行固定在违背剪切的位置。

\Omega(r)=\sqrt{\frac{GM_S}{r^3}},\qquad \frac{d\Omega}{dr}=-\frac{3\Omega}{2r}

先对半径的幂求导，再取局部近似。

\dot y\simeq r_0[\Omega(r_0+x)-\Omega(r_0)]=-\frac32\Omega_0x

一条圆轨道在局部坐标中变成直线剪切轨迹。

偏离参考位置的粒子还可以有径向和方位速度，科里奥利加速度把两者联系起来。将中心引力与离心加速度围绕参考圆轨道展开，留下一个径向潮汐项。合在一起就是下面的 Hill 方程；右边的力表示卫星等局部作用造成的额外加速度，行星引力已经包含在左边的结构里。

浏览器只保留平面运动，不计算竖直方向、扁率修正、粒子互引力、自转和摩擦。这让机制容易读懂，却不能定量模拟自引力尾迹，也不能标定土星环粘性。场景长度单位是一百米，时间单位是参考角频率的倒数。

\ddot x=2\Omega_0\dot y+3\Omega_0^2x+F_x,\qquad \ddot y=-2\Omega_0\dot x+F_y

径向潮汐与科里奥利项必须一起保留。把速度相关力当作普通位置力处理，会损坏简单蛙跳积分的表现。

r_0=1.30\times10^8\,\mathrm m,\quad GM_S=3.7931208\times10^{16}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}},\quad\Omega_0\simeq1.31\times10^{-4}\,\mathrm{s^{-1}}

这组给定参考值对应每个模拟时间单位约 2.11 小时，屏幕播放经过加速。

令额外作用为零。方位方程说明下式中的组合保持常数。用它表示方位速度，再代入径向方程，剩下的就是以导向半径为中心的简谐振动，而不是一个会单独把粒子甩出去的径向加速度。

解里同时有振荡与导向中心的匀速漂移。圆轨道初始条件给出零径向速度和对应的剪切方位速度，振荡幅度恰好为零。卫星的一次冲量通常会改变那个常数组合与径向速度，后续轨迹便一边振荡，一边漂移。

积分器精确推进这段无外力解，在前后各放半次软化卫星冲量。独立的小步长 Runge–Kutta 轨迹核对受迫运动；无卫星剪切和自由周转能量则提供解析检查。这些结果检验的是局部近似，没有检验尚未加入的整环物理。

C=\dot y+2\Omega_0x,\qquad\ddot x+\Omega_0^2x=2\Omega_0C,\qquad x_g=\frac{2C}{\Omega_0}

先对方位方程积分一次，再从径向方程消去方位速度。

x(t)=x_g+(x_0-x_g)\cos(\Omega_0t)+\frac{\dot x_0}{\Omega_0}\sin(\Omega_0t)

在 Kepler 极限中，周转振荡频率等于圆轨道频率。

y(t)=y_0-3Ct-2(x_0-x_g)\sin(\Omega_0t)-\frac{2\dot x_0}{\Omega_0}[1-\cos(\Omega_0t)]

将径向解代入方位速度后积分，别漏掉导向中心的长期漂移。

把粒子放在参考轨道外侧一百米，它的局部方位速度约每秒负 0.0197 米，一小时后向后漂移约七十一米。没有卫星与碰撞时，径向位置保持不变。屏幕上的短暂运动对应很长的物理时间，因此实验明确标注了时间加速。

无摩擦的等质量碰撞只改变沿接触法线的相对速度。动量守恒固定质心运动，恢复系数决定碰撞后的法向相对速度。用碰撞前后的相对动能相减，就得到损失的动能。

举个数值例子：两个各一千克的物体，法向接近速度每秒 0.02 米，恢复系数 0.35。这次碰撞损失约 87.8 微焦耳，切向相对速度保持不变。这里是在计算碰撞定律，没有给每个显示粒子指定一千克的真实质量或真实尺寸。

u_n'=-\epsilon u_n,\qquad\Delta K=\frac{m}{4}(1-\epsilon^2)u_n^2

两个等质量物体的约化质量为单个物体的一半；恢复系数为一时，法向相对动能不损失。

\Delta K=\frac{1\,\mathrm{kg}}4(1-0.35^2)(0.02\,\mathrm{m\,s^{-1}})^2=8.78\times10^{-5}\,\mathrm J

先说明速度是法向相对速度，再代入能量损失。

局部模型包含给定卫星、方位周期相接带来的重复经过，以及有限数目的碰撞示踪粒子；径向开放。它可以产生偏折、周转聚集和碰撞重排。高斯密度核随后测量同一批位置。数值碰撞半径与光学权重是独立教学选择，数画出来的圆盘不能测出真实粒径。

整环共振密度波需要集体响应，以及与轨道共振相连的图样速度；自引力尾迹需要粒子互相吸引。额外画几道装饰条纹不能代替这些作用。下一章先把局部光学柱连到探测器，再引入单独的整环色散关系。