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Sandbox Physics

几何光学 · 双球面折射

Thick Lens Ray Tracing

光线先与前球面相交，再按 Snell 定律进入玻璃，最后从后球面折射回空气。物体前后表面使用独立光束，因此会形成两个不同像平面。

交互模型Thick Lens Ray Tracing
等效焦距104 mm
物体前表面像+156 mm
物体后表面像+169 mm
像的轴向厚度13 mm
光线追迹6 条光线透射

物理教程

厚透镜：从“一个平面折射”回到真实界面

背景薄透镜把两个曲面之间的传播距离忽略掉。镜片变厚或曲率变强后，两次折射发生在不同位置，主平面也不再与镜片中心重合。

为什么值得理解相机镜组、显微物镜、眼球和球透镜都不能只靠单一薄透镜平面解释；有轴向厚度的物体还会把不同深度成像到不同像面。

先抓重点

核心问题
透镜厚度和物体轴向厚度分别怎样改变最终像的位置与“像的厚度”？
一句话直觉
每条光线都要按“与前表面求交 → 折射 → 在玻璃中传播 → 与后表面求交 → 再折射”的顺序处理；物体每个深度点都有自己的光束。

核心数学模型

局部 Snell 定律

n1sin⁡θ1=n2sin⁡θ2n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2

角度必须相对命中点的局部法线测量，而不是相对光轴。

厚透镜等效光焦度

Φ=(n−1)(1R1−1R2+(n−1)tnR1R2)\Phi=(n-1)\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}+\frac{(n-1)t}{nR_1R_2}\right)

最后一项就是厚度修正；等效焦距为 f=1/Φf=1/\Phi。

常见难点

不能在镜片中心只折一次

容易误解只要算出等效焦距，所有真实光线都可以在中心突然转弯。

正确理解等效焦距概括近轴输入输出关系；真实路径仍在两个曲面分别改变方向。

物体厚度不是物高

容易误解把物体画得更高就等于考虑了物体厚度。

正确理解这里的厚度沿光轴方向。近端与远端具有不同物距，因此生成不同像距和纵向放大率。

动手实验

  1. 01

    先退回薄透镜极限

    把镜片厚度调到最小，物体厚度调为零。

    应该观察到： 两个物面与像面合并，结果接近熟悉的薄透镜情形。
  2. 02

    只增加镜片厚度

    保持曲率和折射率不变，增大 t。

    应该观察到： 玻璃内传播段变长，主平面和等效焦距发生移动。
  3. 03

    展开物体深度

    增大物体厚度，比较琥珀与青色光束。

    应该观察到： 两个物面形成两个像面，像的轴向厚度一般不等于原物体厚度。