光学 022 · 厚透镜在哪里折弯光线

厚透镜设计器

厚透镜里，光看起来在哪里折弯？这个位置怎样找出来？ 在后主平面上；透镜在空气中时，后节点也在这里。它可能在玻璃里，也可能在玻璃外，焦距从它量起，而不是从玻璃表面。要找到它，把透镜放在转台上，对着平行光来回转：只有转轴正好穿过后节点，会聚的光斑才一动不动。

让厚透镜在平行光中来回转动，移动转轴，直到会聚的光斑停住不动：这时转轴就在后节点上。

焦距，从后主平面量起 $\text{—}$

焦点到玻璃后表面 $\text{—}$

薄透镜公式的焦点误差（正：算远了） $\text{—}$

相机上光斑的摆动 $\text{—}$

后节点到玻璃后表面 $\text{—}$

后节点到转轴 $\text{—}$

薄透镜公式给出的焦距 $\text{—}$

光斑均方根半径（透镜正对光束） $\text{—}$

这次记录追迹的光线 $\text{—}$

光学 022

透镜绕哪里转，焦点才不动？

前表面曲率

c_{1}

76.3\,\mathrm{m^{-1}}\ (R=13.1\,\mathrm{mm})

后表面曲率

c_{2}

0\,\mathrm{m^{-1}}\ (R=\infty)

中心厚度

d

11.7\,\mathrm{mm}

玻璃折射率

n

1.5168\ (\text{N-BK7})

转轴到玻璃后表面

p

10\,\mathrm{mm}

透镜单侧转角

\alpha_{\max}

8^{\circ}

光束直径

D

8\,\mathrm{mm}

透镜在空气中时，对准前节点射入的光线，会从后节点沿原方向射出。绕后节点转动透镜，焦点就留在原处。

每条光线都用三维 Snell 定律精确追迹，穿过两个球面，波长只取 587.6 nm，不考虑色散、衍射、反射损失和杂散光。焦距、主平面和节点按两个球面的近轴光学计算，描述的是靠近光轴的光线；追迹出的光斑还带着透镜的球差。透镜在空气中，所以节点和主点重合。默认透镜与 Thorlabs LA1951 一致：N-BK7 玻璃，直径 25.4 mm，凸面半径 13.1 mm，厚 11.7 mm，焦距 25.4 mm，后焦距 17.6 mm。每片透镜都按这 25.4 mm 的直径截取；某个表面先变成半球、或两个表面先相交时，就截在那里。准直管发出的光严格平行，转台绕严格竖直的轴转动；相机只在透镜正对光束时对一次焦，透镜转动时不再移动。焦点离玻璃太近时，相机停在刚好碰不到转动透镜的地方。薄透镜误差的比法是：用去掉厚度项的透镜制造者公式，把透镜看成位于厚度中点，算出的焦点与真实焦点相比。场景按真实比例绘制。

物理教程

找出厚透镜的后节点

背景真实的透镜有两个弯曲的玻璃面，相隔几毫米，光在每个面上各折一次。从外面看，这一对表面仍像是只在一个平面上把光折了一次；这个平面可能在玻璃里，甚至在玻璃外。光学测试台用节点滑轨找它：让透镜在平行光里来回转，移动转轴，直到会聚的光斑不再移动。

为什么值得理解透镜上标的焦距是从这个平面量起的，不是从玻璃表面。知道它在哪里，就知道传感器该放在透镜后多远，也会明白同一片透镜翻个面，焦点离玻璃的距离为什么会变。

先抓重点

核心问题: 厚透镜里，光看起来在哪里折弯？这个位置怎样找出来？
一句话直觉: 透镜在空气中时，对准前节点射入的光线，会从后节点 $N'$ 沿原方向射出。平行光的焦点就在这条不偏折的光线上，所以透镜一转，焦点就跟着 $N'$ 横向移动。只有转轴正好穿过 $N'$ ，光斑才停住；这时从转轴到焦点的距离就是焦距。

核心数学模型

带厚度项的透镜制造者公式

\frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}+\frac{(n-1)\,d}{n\,R_{1}R_{2}}\right)

每个面的折射都按 OpenStax《大学物理》第 3 卷式 2.11 计算；让光线穿过前表面、走过玻璃、再穿过后表面，就得到这个焦距。 $R_{1}$ 、 $R_{2}$ 是前后两个面的半径，曲率中心在表面后方时为正； $d$ 是中心厚度， $n$ 是折射率。去掉最后一项，就是薄透镜的公式。Lab 的滑块调的是曲率 $1/R$ ，单位 $\mathrm{m^{-1}}$ ，平面就是零。

后主平面在哪里

x_{H'}=-\frac{f\,(n-1)\,d}{n\,R_{1}},\qquad f_{\mathrm{B}}=f+x_{H'}

从后表面量起，在它前方为负。后焦距 $f_{\mathrm{B}}$ 是从玻璃到焦点的距离。凸面朝向光束的平凸透镜， $f=R_{1}/(n-1)$ ， $x_{H'}=-d/n$ ：LA1951 的后主平面在玻璃里 $11.7\,\mathrm{mm}/1.5168=7.71\,\mathrm{mm}$ 处，后焦距 $f_{\mathrm{B}}=25.36-7.71=17.65\,\mathrm{mm}$ ，Thorlabs 标的是 17.6 mm。在空气中，后节点 $N'$ 就在这个平面上。

光斑跟着后节点走

\Delta y\approx\left(x_{N'}-p\right)\sin\alpha

透镜绕位于 $p$ 的轴转过 $\alpha$ ， $N'$ 横向移动这么多，焦点也跟着移动。 $p=x_{N'}$ 时光斑不动，这就是 P. J. Reardon 和 S. Morel 介绍的节点滑轨测量。Lab 里追迹出的光斑带着透镜的像差，所以和这条规律略有出入，默认设置下约差 5 %。

玻璃球

f=\frac{nD}{4(n-1)}

代入 $R_{1}=D/2$ 、 $R_{2}=-D/2$ 、 $d=D$ ，第一个公式就给出这个焦距，从球心量起；两个主平面和两个节点都在球心。直径 25.4 mm 的 N-BK7 球， $n=1.5168$ ， $f=18.6\,\mathrm{mm}$ ，焦点只在玻璃外 5.9 mm。

常见难点

焦距不从玻璃量起

容易误解焦距就是透镜到焦点的距离。

正确理解从透镜的哪里量？LA1951 的焦点在平面后 17.6 mm，焦距却是 25.4 mm，是从玻璃里 7.7 mm 处的后主平面量起的。从玻璃量到焦点的是后焦距，是另一个数。

节点不在透镜正中

容易误解透镜绕自己的中心转，像就不会动。

正确理解LA1951 的中点在平面前 5.85 mm，后节点却在平面前 7.71 mm；绕中点转，光斑还在摆。只有对称的透镜，比如玻璃球，节点才在正中。

翻个面，焦距不变

容易误解把平凸透镜翻过来，焦距就变了。

正确理解焦距仍是 25.4 mm；变的是主平面在玻璃中的位置，所以焦点从玻璃后 17.6 mm 移到 25.4 mm。像差也变了：凸面朝向平行光时，两个面分担折射，光斑半径是 0.054 mm，而不是 0.24 mm。

在空气中，节点就是主点

容易误解节点是另外一对点，有自己的位置。

正确理解透镜两侧是同一种介质时，比如在空气中，节点和主点重合。只有两侧介质不同时它们才分开，比如眼睛，后面充满了液体。

动手实验

01
看光斑摆动
保持默认预设“转轴在透镜后：光斑摆动”。
你会看到： 转轴在平面后 10 mm，离后节点 17.7 mm。透镜来回转 ±8°，相机上的光斑摆动 ±2.6 mm，与规律给出的 2.5 mm 相近。
02
拖动转轴
在转台上把转轴朝透镜拖，一直拖进玻璃里。
你会看到： 摆动越来越小，停住，越过标出后节点的紫色小球后又反向摆动。数据行里追迹出的曲线正好在那里穿过零。
03
让光斑停住
载入“转轴在节点上：光斑不动”。
你会看到： 转轴在玻璃里 7.7 mm 处，光斑移动不到 0.002 mm。从转轴到相机，玻璃里 7.7 mm 加上空气中 17.6 mm，共 25.4 mm，正是焦距。
04
把透镜翻过来
载入“平面朝前：节点换了位置”。
你会看到： 焦距还是 25.4 mm，焦点却到了凸面后 25.4 mm，后节点就在凸面上。转轴仍留在玻璃里 7.7 mm 处，光斑摆动 ±1.0 mm，光斑半径也从 0.054 mm 涨到 0.24 mm。
05
换成玻璃球
载入“玻璃球：节点在球心”。
你会看到： 绕球心转，光斑不动。焦距 18.6 mm，焦点在玻璃外 5.9 mm；薄透镜公式给出 12.3 mm，把焦点算近了 6.4 mm。
06
换一种玻璃
载入“重火石玻璃：焦距变短”，再调玻璃折射率。
你会看到： N-SF11 的折射率 1.785，焦距缩到 16.7 mm，后焦距 10.1 mm，后节点移到玻璃里 6.6 mm 处。
07
把透镜变薄
载入“薄透镜：简单公式够用”，再用中心厚度把它加厚。
你会看到： 3.6 mm 厚的 LA1509 焦距 99.7 mm，薄透镜公式只把焦点算偏 0.57 mm。玻璃加厚时，焦距不变，因为平面没有光焦度；焦点和主平面却都向光束一侧移动，过程图里看得到。

厚透镜设计器

找出厚透镜的后节点

核心数学模型

带厚度项的透镜制造者公式

后主平面在哪里

光斑跟着后节点走

玻璃球

常见难点

焦距不从玻璃量起

节点不在透镜正中

翻个面，焦距不变

在空气中，节点就是主点

动手实验

看光斑摆动

拖动转轴

让光斑停住

把透镜翻过来

换成玻璃球

换一种玻璃

把透镜变薄

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