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Sandbox Physics

光学 022 · 成像、仪器与视觉系统

厚透镜设计器

双表面 N-BK7 设计舱把明显变化的曲率与中心厚度，同精确子午 Snell 追迹、局部法线、Gaussian 主平面、有效焦距和实时有限厚度误差图联系起来。

交互模型厚透镜设计器
有效焦距 fef_{\mathrm e}0.500.50
主平面位置 H1, H2H_1,\,H_250%50\%
有限厚度焦距修正 fe−fd→0f_{\mathrm e}-f_{d\to0}0.00π0.00\pi
模型适用区间模型适用\text{模型适用}

物理教程

审查厚透镜设计器的物理过程

背景厚透镜是两个分离的折射球面，而不是加了宽度滑块的薄透镜图标。以球面顶点 V1、V2 为基准，一级系统功率为 Φ=Φ1+Φ2−dnΦ1Φ2\Phi=\Phi_1+\Phi_2-\frac{d}{n}\Phi_1\Phi_2，其中每个表面功率使用带符号曲率半径。彩色精确路径会独立与两个真实绘制球面求交，并两次应用矢量 Snell 折射。

为什么值得理解当曲率与厚度都可调时，薄透镜近似漏掉了什么？

先抓重点

核心问题
当曲率与厚度都可调时，薄透镜近似漏掉了什么？
一句话直觉
厚透镜的物距与像距应从主平面量起；相对顶点的位置为 H1=V1+Φ2Φdn,H2=V2−Φ1ΦdnH_1=V_1+\frac{\Phi_2}{\Phi}\frac{d}{n},\qquad H_2=V_2-\frac{\Phi_1}{\Phi}\frac{d}{n}。因此改变曲率半径或中心厚度时，玻璃实体与基点面都会同步移动。

核心数学模型

双表面系统功率

Φ1=n−1R1,Φ2=1−nR2,fe=1Φ\Phi_1=\frac{n-1}{R_1},\quad \Phi_2=\frac{1-n}{R_2},\quad f_{\mathrm e}=\frac{1}{\Phi}

只有当 d 趋于零时厚度耦合项才消失。画面中的 d 趋零对照由同一组表面功率重新计算。

主平面

P=Φ2Φdn,P′′=−Φ1ΦdnP=\frac{\Phi_2}{\Phi}\frac{d}{n},\qquad P''=-\frac{\Phi_1}{\Phi}\frac{d}{n}

P 从前顶点量起，P 双撇从后顶点量起；它们并不必然位于机械中心。

逐表面 Snell 不变量

ni(k^i ⁣⋅ ⁣t^)=nt(k^t ⁣⋅ ⁣t^)n_i(\hat{\mathbf k}_i\!\cdot\!\hat{\mathbf t})=n_t(\hat{\mathbf k}_t\!\cdot\!\hat{\mathbf t})

精确追迹器在每一个局部球面法线处守恒切向光学动量；它不会把光线统一折在透镜中心。

常见难点

混淆孔径半径与曲率半径

容易误解改变 R 只需更新焦距数值，画面中的透镜表面可以保持不变。

正确理解R 是生成球面的半径。本装置每次改变 R 都会重建两侧球面网格、有效边缘、全部交点、局部法线、折射、系统功率与主平面。

动手实验

  1. 01

    场景 1：两次球面折射

    使用两次球面折射场景。环绕透镜观察并扫描表面曲率半径，验证实体弧高、边缘孔径、交点、法线与出射光线同时变化。

    应该观察到： 较小曲率半径会产生明显更深的表面和更大的局部法线变化。边缘光线不再共享近轴交点，从而直接暴露球差而不是隐藏它。
  2. 02

    场景 2：主平面追踪

    进入主平面追踪。增大中心厚度，先比较物理顶点与 H1、H2，再读取 Gaussian 像位置。

    应该观察到： 对非对称透镜，H1 与 H2 的移动量不同。即使 Gaussian 近似本身有效，从机械中点量取两侧共轭仍会产生系统误差。
  3. 03

    场景 3：薄透镜误差图

    打开薄透镜误差图。从浅薄透镜移动到厚且强曲率的预设，对比有效焦距与 d 趋零极限。

    应该观察到： 焦距修正随厚度和表面功率连续增长。它是带单位的模型项，不是透镜网格的装饰性位移。