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光学 015 · Penrose 的镜面房间

照不到的房间

四壁都是镜子的房间里，能不能有一块地方，一盏小灯怎么也照不到？ 能。Penrose 的房间由两个半椭圆和中间一间房连成；灯放在中间时，光无论反射多少次，都照不到两侧的四个凹室。椭圆会把每条从两个焦点之间穿过的光线送回两个焦点之间，而凹室只在焦点外侧开口。墙面换成哑光，或者考虑真实光波的衍射，凹室才会进光。

拿着蜡烛在 Penrose 的镜面房间里走动，看四个凹室无论光反射多少次都一片漆黑，直到你挪动焦点或让墙面变哑。

交互模型照不到的房间
蜡烛直接照到的地面—\text{—}
只靠反射照到的地面—\text{—}
追踪的光都没到的地面—\text{—}
有光进入的凹室—\text{—}
进入精确房间里本应全暗的凹室的光线—\text{—}
在焦点外侧穿过上厅直边的比例—\text{—}
焦点离中心的距离，以及两厅的半短轴—\text{—}
从蜡烛发出的追踪光线数—\text{—}

物理教程

找出蜡烛永远照不到的角落

背景在一间墙壁全是理想镜面的房间里点一支蜡烛。光朝四面八方射出，在墙上一遍遍反射。这样的房间最后是不是处处都会被照亮？这个问题一般认为是 Ernst Straus 在 20 世纪 50 年代初提出的。1958 年，Lionel Penrose 和 Roger Penrose 用一间由两个半椭圆拼成的房间给出了否定的答案。

为什么值得理解直觉上，光反射得够久，总能钻进每个角落。Penrose 的房间说明，弯曲的镜子可以把整块区域永远排除在外：不是把光挡住，而是让每一次反射都把光送回同样的去处。

先抓重点

核心问题
蜡烛放在中间的房间里，为什么反射 24 次、40 次之后，四个凹室仍是一片漆黑？要怎样才能让光进去？
一句话直觉
每个厅是半个椭圆，两个焦点 F1F_{1} 和 F2F_{2} 落在它的直边上。从两个焦点之间穿过直边的光线，总会从两个焦点之间回来；从焦点外侧穿过的光线，总会从焦点外侧回来。中间的房间只在焦点之间与厅相通，凹室只在焦点外侧开口，所以从中间出发的光，永远进不了凹室。把焦点从伞尖挪开，或者让墙面变哑，这条规律就被打破，光就漏进去了。

核心数学模型

椭圆的两个焦点

∣PF1∣+∣PF2∣=2af=a2−b2=3.75 m\begin{gathered}|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a\\f=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=3.75\,\mathrm{m}\end{gathered}

椭圆上每一点 PP 到两个焦点的距离之和都是 2a2a。所以 PP 处的墙面与指向两个焦点的连线夹角相等，从一个焦点射出的光，反射后经过另一个焦点。Kim 等人的腔体取 a=4.80a=4.80、b=3.00b=3.00，焦点离中心 3.75，正好在伞尖上。

从焦点之间进，就从焦点之间回

∣xn∣<f ⟹ ∣xn+1∣<f∣xn∣>f ⟹ ∣xn+1∣>f\begin{gathered}|x_{n}|<f\ \Longrightarrow\ |x_{n+1}|<f\\|x_{n}|>f\ \Longrightarrow\ |x_{n+1}|>f\end{gathered}

设光线穿过厅的直边的位置是 xnx_{n}，在椭圆上反射后再一次穿过直边的位置是 xn+1x_{n+1}。从两个焦点之间穿过的光线，会从两个焦点之间回来（Chernov 与 Galperin 2003）。光路是可逆的，所以从焦点外侧穿过的光线，也一定从焦点外侧回来：要是它从焦点之间回来，把它的路径反过来走，就违反了第一条规律。

挪动焦点

b′=a2−(f+Δf)2b'=\sqrt{a^{2}-(f+\Delta f)^{2}}

实验保持每个厅宽 9.60 m，改变它的深度 b′b'，让焦点沿直边移动 Δf\Delta f。伞形隔墙和凹室不动，于是“焦点之间”和“焦点外侧”不再与中间房间和凹室的开口对齐。

哑光墙

p(θ)=12cos⁡θ,−π2≤θ≤π2p(\theta)=\tfrac{1}{2}\cos\theta,\qquad -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}

哑光墙从各个方向看都一样亮，所以它朝着与法线成 θ\theta 角的方向送出的光按 cos⁡θ\cos\theta 减弱；在平面里，这个角的正弦在 −1 到 1 之间均匀分布。散射后的光线不记得自己从哪来，从焦点之间进来，也可能从焦点外侧出去。

常见难点

反射再多，也填不满房间

容易误解光反射得够久，镜面房间的每个地方都会被照到。

正确理解厅里的每一次反射都服从同一条规律，所以从中间房间出发的光，反射多少次都只从焦点之间穿过。实验里反射 40 次和反射 1 次一样，凹室都是黑的。

追踪得再久，也不是证明

容易误解1500 条光线都没进凹室，所以追踪就证明了凹室是黑的。

正确理解追踪只跟了有限条光线、有限次反射。焦点往里挪 0.10 m 时，1500 条光线在 24 次反射内只有一两条进了凹室，追踪得粗一点就会漏掉它们。对精确的房间，证明靠的是椭圆的焦点性质；追踪只是让你看到它在起作用。

直墙也能藏住一个点

容易误解只有弯曲的镜子才能留下照不到的地方。

正确理解1995 年，George Tokarsky 造出一间有 26 面直墙的房间：蜡烛放在某一点，就有另一个点永远照不到；David Castro 后来把墙减到 24 面。这类房间藏住的是个别的点，不是一块区域：多边形的各个角若都是 π 的有理数倍，一支蜡烛最多只留下有限个照不到的点（Lelièvre、Monteil 与 Weiss 2016）。实验不追踪这类房间，因为抽样光线找不出单独一个黑点。

真实的光会钻进去

容易误解用真镜子造一间 Penrose 房间，凹室会是全黑的。

正确理解光是波，会绕过障碍物，所以对波来说，房间里没有哪一处是完全黑的（Kim 等人 2022）。开口比波长宽很多时，光线的图像才成立；即便如此，仍有一点光衍射进去。

动手实验

  1. 01

    看黑着的凹室

    保持默认预设“蜡烛在中间：四个凹室一直是黑的”。

    你会看到： 84 % 的地面直接看得到蜡烛，另有 5 % 只靠反射照到。四个凹室占地面 11 %，反射 24 次后仍是黑的。数据区里，光每次穿过上厅直边，都落在两个红色焦点之间。
  2. 02

    挪蜡烛，多跟几次反射

    把蜡烛拖到中间房间的任意位置，再把跟踪的反射次数调到 40。

    你会看到： 直接照到的地面随蜡烛位置变化，大约在 70 % 到 84 % 之间；凹室却始终是黑的，也没有一次穿过落在焦点外侧。照到的地面曲线在大约 7 次反射后停在 89 %，不再上升。
  3. 03

    把蜡烛放进厅里

    载入“蜡烛在厅里：远端两个凹室是黑的”。

    你会看到： 光开始在焦点外侧穿过上厅直边，上厅旁的两个凹室亮了。下厅旁的两个凹室仍是黑的：光要到那里，得先穿过中间房间，于是只能从下厅的两个焦点之间进入下厅。
  4. 04

    把蜡烛放进凹室

    载入“蜡烛在凹室里：大半个房间是黑的”。

    你会看到： 现在每一次穿过都在焦点外侧。光充满了上厅和上方两个凹室，却始终进不了中间房间、下厅和下方的凹室：67 % 的地面是黑的。
  5. 05

    把焦点从伞尖挪开

    载入“焦点离开伞尖：光漏进凹室”。

    你会看到： 焦点往外挪 0.30 m 后，从焦点之间穿过的光，可能从焦点和伞尖之间回来，直接落进凹室。24 次反射内有 35 % 的光线进了凹室，地面不再有黑的地方。过程区里，只有焦点正好在伞尖上时漏光为零；焦点往里挪 0.10 m，1500 条光线在 24 次反射内只漏进一两条。
  6. 06

    让墙面变哑

    载入“哑光墙照亮每个角落”。

    你会看到： 30 % 的墙面撞击发生散射时，61 % 的光线进了凹室，到第四次反射整个地面都亮了。即使只有 5 % 散射，24 次反射内每个凹室也都会进光。

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