光学 016 · 阳光最多能把管子晒多热

太阳聚光与 Étendue

为什么任何透镜或反射镜，都没法把阳光聚到任意小的一点上？ 因为任何被动光学系统都没法缩小 étendue，也就是光束面积乘以方向张开的程度。光斑压得越小，光就得从越宽的角度射来，而角度总有用完的时候。最大聚光比由折射率和接收角决定，槽式和碟式聚光器的上限不一样。

把抛物面槽或不动的 CPC 对准太阳，缩小吸收器，看聚光比为什么停在由太阳大小决定的上限。

开口宽度除以吸收器尺寸 $\text{—}$

到达吸收器的阳光比例 $\text{—}$

实际聚光比，与这束光的上限相比 $\text{—}$

不带走热量时吸收器的温度 $\text{—}$

到达吸收器前的平均反射次数 $\text{—}$

焦距和管径，或 CPC 的高度和吸收器宽度 $\text{—}$

阳光占满吸收器全部容量的比例 $\text{—}$

两个方向都聚光的碟式聚光器的上限 $\text{—}$

这次记录追踪的光线数 $\text{—}$

光学 016

为什么任何反射镜，都没法把阳光聚到任意小的一点上？

复合抛物面聚光器（CPC）把跟踪太阳的槽换成不动的 CPC。吸收器的接收半角

\theta_{\mathrm{a}}

0.75^{\circ},\ d = 70\,\mathrm{mm}

槽的边缘角

\phi

68.4^{\circ}

入射光角半径：太阳本身，加上镜面误差

\delta

0.27^{\circ}

太阳偏离集热器轴线的角度

\varepsilon

0^{\circ}

吸收器缩小，聚光比只会涨到它开始接不住太阳像为止；任何设计都超不过太阳大小定下的上限。

实验在一条长集热器的截面里追踪阳光，每条光线都留在同一平面内，所以这里的上限都是二维的；在两个方向上都聚光的碟式聚光器只作为读数出现。在截面里，阳光在太阳的角半径 0.266° 以内均匀分布；角半径由 IAU 2015 的太阳名义半径和天文单位算出，太阳有效温度取 5772 K。真实的日面这样看是中间最亮，而且太阳本身边缘也偏暗。“入射光角半径”滑块把这个圆盘放宽，用来代表镜面和跟踪误差。镜面完全反射，吸收器是黑体，没有玻璃罩、空气和热损失，所以显示的温度是滞止温度：黑色吸收器辐射出去的热量正好等于它吸收的热量时的温度（Rabl 1975）。默认的槽是在 Sandia 测试过的 LUZ LS-2 模块：开口 5 m，焦距 1.84 m，吸收管直径 70 mm（Dudley 等 1994）。CPC 的侧壁按 Rabl 的作图法构造，高度和反射面长度与他的表 II 一致。阳光正向追踪 4000 条；吸收器上的分布曲线和方向图从 48 个小段反向追踪，当太阳恰好落在 CPC 接收角的边缘时，可能会有百分之几的光算到错误的位置。

物理教程

把阳光聚起来，看它停在哪里

背景太阳能热电站用聚起来的阳光加热流体。弯曲的反射镜把落在宽开口上的阳光汇到一个小得多的吸收器上，吸收器通常是一根黑管或一块黑板。聚光比说的是：吸收器上的光，比正对太阳的平板上的阳光亮多少倍。

为什么值得理解吸收器能升到的温度越高，热机靠它运转得越好，所以设计者想把光挤到尽可能小的吸收器上。可太阳不是一个点：从地球上看，日面宽 0.53°。光能挤到多小，就由这个宽度决定。

先抓重点

核心问题: LS-2 槽式聚光器把 5 m 宽开口上的阳光汇到一根 70 mm 的管子上，聚光 22.7 倍。为什么无论镜子做成什么形状，槽式聚光都超不过 215 倍？管子做细，到底能换来什么？
一句话直觉: 从宽 $W$ 的开口进来、方向在太阳中心 $\pm\delta$ 以内的光，宽度乘方向张开的程度，也就是 étendue，等于 $2W\sin\delta$ 。反射镜可以拿宽度换角度，却不能让这个乘积变小。尺寸为 $A$ 的吸收器，最多从上方所有方向收光，étendue 是 $2A$ ，所以 $C=W/A\le1/\sin\delta$ ，对太阳是 215。比太阳像还小的管子，只会把太阳边缘来的光漏掉。达到自身上限的碟式聚光器，让吸收器上每一点往哪个方向看都是太阳，吸收器于是升到太阳本身的温度，再也热不上去。

核心数学模型

Étendue 上限

\begin{gathered}2W\sin\delta\le2A\\C=\frac{W}{A}\le\frac{1}{\sin\delta}\approx215\\C_{\mathrm{dish}}\le\frac{1}{\sin^{2}\delta}\approx46\,200\end{gathered}

从开口 $W$ 进来的阳光，方向张开 $\pm\delta$ ；吸收器 $A$ 最多能接收它这一侧的所有方向，即 $\pm90^{\circ}$ 。反射镜不改变光的 étendue，吸收器能收下的又不超过它自己的 étendue，由此得到二维上限 $1/\sin\delta$ 。在两个方向上都聚光的碟式聚光器，上限是 $1/\sin^{2}\delta$ （Rabl 1975，式 II-14、II-15）。

太阳有多大

\begin{gathered}\sin\delta=\frac{R_{\odot}}{1\,\mathrm{au}},\qquad\delta=0.266^{\circ}\\E_{\odot}=\sigma T_{\odot}^{4}\sin^{2}\delta=1361\,\mathrm{W/m^{2}}\end{gathered}

IAU 2015 规定的太阳名义半径是 695 700 km，从 1 au 外看过去，得到太阳角半径 $\delta$ 。正对有效温度 $T_{\odot}=5772\,\mathrm{K}$ 的太阳，黑色表面接收到的辐照度是 $E_{\odot}$ ，与 IAU 的名义值 $1361\,\mathrm{W/m^{2}}$ 一致：日面的大小和亮度对得上。

带吸收管的抛物面槽

\begin{gathered}d=2r\sin\delta,\qquad W=2r\sin\phi\\C=\frac{W}{\pi d}=\frac{\sin\phi}{\pi\sin\delta}\end{gathered}

镜子边缘离焦点最远，距离为 $r$ ，对应边缘角 $\phi$ ，它成的太阳像最大，所以管径至少要有 $d$ 才接得住。管子整圈周长 $\pi d$ 都在吸热，也都在散热，所以聚光比是开口宽度除以周长。 $\phi=90^{\circ}$ 时最大，为 $1/(\pi\sin\delta)=68.4$ （Rabl 1975，式 VI-1）。

复合抛物面聚光器（CPC）

\begin{gathered}C=\frac{W}{2a'}=\frac{1}{\sin\theta_{\mathrm{a}}}\\L=\left(\frac{W}{2}+a'\right)\cot\theta_{\mathrm{a}}\end{gathered}

每面侧壁都是一段抛物线，焦点在平板吸收器 $2a'$ 的另一端，轴线倾斜一个接收半角 $\theta_{\mathrm{a}}$ 。凡是在 $\pm\theta_{\mathrm{a}}$ 以内进来的光都落到吸收器上，其余的全部反射出去，所以 CPC 正好达到这个接收角对应的上限。它的高度 $L$ 和侧壁长度与 Rabl 的表 II 一致。

吸收器能有多热

T=T_{\odot}\left(C\sin^{2}\delta\right)^{1/4}

只靠辐射散热的黑色吸收器会一直升温，直到它辐射 $\sigma T^{4}$ 的速度等于吸收 $C E_{\odot}$ 的速度。这个滞止温度：正对太阳的裸平板是 394 K，LS-2 是 860 K，槽式上限是 1507 K。到碟式上限 $C\sin^{2}\delta=1$ 时，正好是太阳本身的 5772 K（Rabl 1975，式 II-23）。

常见难点

镜子再大，也晒不过太阳

容易误解镜子够大，焦点就能比太阳还热。

正确理解聚光比的上限由太阳的角大小决定，与镜子多大无关。到了碟式上限，吸收器往哪个方向看都是太阳，温度升到 5772 K，和太阳一样。要是再热，热量就会自发地从较冷的太阳流向较热的吸收器，这是热力学第二定律不允许的。

开口除以吸收器，不等于聚光比

容易误解开口宽度除以吸收器尺寸，就是聚光比。

正确理解只有光全部落到吸收器上时才是。16.9 mm 的管子，这个比值是 94.2，可它只接住 87 % 的光，实际聚光 81.8 倍。

吸收管达不到上限

容易误解完美的抛物面槽能达到 étendue 上限。

正确理解聚到管子上的抛物面槽，最多只能达到上限的 $1/\pi$ ，即 68.4 对 215，因为管子上每一点只在一条窄带方向里看得到太阳。要达到上限，得用 CPC 这样的非成像设计：接收角 $\pm30^{\circ}$ 时正好 2.00 倍，就是这个接收角的上限。

动手实验

01
看光落到管子上
保持默认预设“LS-2 槽对准太阳：阳光全部接住”。
你会看到： 画出的每条光线都落在 70 mm 的管子上。开口除以吸收器， $5\,\mathrm{m}/(\pi\cdot70\,\mathrm{mm})$ ，等于 22.7；阳光全部到达，所以实际聚光比也是 22.7，而太阳允许的上限是 215。不把热量带走的话，管子会升到 860 K。
02
让跟踪偏一点
把太阳往旁边拖，或载入“跟踪偏了：光打不中管子”。
你会看到： 太阳偏离轴线 0.5° 左右以内，一点光都不漏。偏 0.75° 时，15 % 的光从管子旁边擦过（灰色光线），聚光比降到 19.4。偏 1° 时，只剩 42 % 能到达。数据区的接收曲线画出了这段下跌。
03
把管子做细
载入“管子更细：更热，但漏光”，或调小接收半角。
你会看到： 16.9 mm 的管子只接住 87 % 的光，但把接住的光聚了 81.8 倍，能升到 1184 K；开口除以吸收器是 94.2。再细到 14.1 mm，漏得更多，却什么也没换来：扫描图里实际聚光比的曲线在 82 附近变平，只有上限的 38 %，而开口除以吸收器还在一路上升。
04
把边缘角开到 90°
载入“槽式聚光的极限”。
你会看到： 边缘角 90°，配一根 23.3 mm 的管子，刚好接住镜子边缘成的太阳像。光全部接住，聚光比 68.4，正是 $215/\pi$ 。方向图里，管子上每一点只在一条窄带里看得到太阳；这条带只占整张图的 32 %，也就是说，槽只用上了管子容量的这一部分。
05
不再跟踪
载入“不动的 CPC 接住偏了 20° 的太阳”。
你会看到： 接收角 $\pm30^{\circ}$ 的 CPC，在太阳偏离轴线 20° 时仍接住全部阳光，平均反射 0.72 次，聚光 1.88 倍；太阳在轴线上时是 2.00 倍，正是方向张开 $\pm30^{\circ}$ 的光的上限。再偏过 30° 半度，它一点光也接不住。为了能在太阳移动时一动不动，它放弃了 215 倍里的绝大部分，只能升到 461 K。
06
让太阳变模糊
回到默认，把入射光角半径调到 1°。
你会看到： 光张开到 1°，好比镜面有轻微变形，上限就从 215 降到 57.3。70 mm 的管子这时接住 93 %，聚光 21.2 倍。到 3° 时上限只剩 19.1，管子只接住三分之一的光。

太阳聚光与 Étendue

把阳光聚起来，看它停在哪里

核心数学模型

Étendue 上限

太阳有多大

带吸收管的抛物面槽

复合抛物面聚光器（CPC）

吸收器能有多热

常见难点

镜子再大，也晒不过太阳

开口除以吸收器，不等于聚光比

吸收管达不到上限

动手实验

看光落到管子上

让跟踪偏一点

把管子做细

把边缘角开到 90°

不再跟踪

让太阳变模糊

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