光学 017 · 把桌面照均匀

照明与辐射度工作室

光会随距离和角度变弱，怎样才能把一块平面照得均匀？ 把几盏灯沿着平面排开，挂在合适的高度。一盏灯的照度与距离的平方成反比，光落得越斜也越暗，所以灯正下方最亮。把灯升高，平面会变匀，但整体变暗。几盏灯能互相补上边缘的暗处；大面板主要让影子变软，对均匀度帮助不大。

在桌面上方挂一到四盏灯，从裸 LED 到大面板，看照度、均匀度和瓶子的影子怎样变化。

桌面平均照度（目标 500 lx） $\text{—}$

均匀度，最暗处除以平均值（目标 0.60） $\text{—}$

探头处的照度 $\text{—}$

瓶子影子最暗处剩下的光 $\text{—}$

每盏灯发光面的亮度 $\text{—}$

桌面最暗处和最亮处 $\text{—}$

探头到最近一盏灯的距离和角度 $\text{—}$

若每盏灯换成光通量相同的点光源，探头处的照度 $\text{—}$

灯光落在桌面上的比例 $\text{—}$

这次记录计算的桌面格数 $\text{—}$

每盏灯是一个朝正下方的正方形发光面，面上每一点向各个方向发光一样亮，也就是 Lambert 光源；它的亮度等于光通量除以 π 乘面积。它在桌面每一点产生的照度，用平行矩形的角系数精确算出，这是 Hottel 1931 年的结果，收在 Howell 的角系数目录里，没有用小光源近似。只计算直射光：桌面、墙和天花板都不反射，相当于房间是黑的，真实房间读数会更高、更均匀。流明和勒克斯是光度学单位，按人眼的明视觉灵敏度加权，定义见 NIST 特别出版物 250-37（Ohno 1997）。桌面长 1.2 m、宽 0.7 m，照度图每格 1 cm；平均值、最小值和均匀度在没有瓶子的桌面上按 2 cm 网格计算。瓶子是不透光的圆柱，直径 7 cm、高 22 cm；它挡住灯的哪一部分，靠把灯面分成 24 乘 24 个小方块来求，探头读数和阴影剖面用 48 乘 48。作业目标是平均 500 lx、均匀度不低于 0.60，取自公开转载的 EN 12464-1 中书写、打字、阅读和数据处理一项；本实验把它用于整张桌面，没有考虑标准里的维护系数、周边区域和眩光限制，所以这是设计练习，不是合规计算。

物理教程

用会随距离变暗的灯，把桌面照均匀

背景照度是落在每平方米表面上的光，单位是勒克斯（lx），即每平方米一流明。阅读用的桌面一般照到 500 lx 左右。光一边走一边散开，所以同一盏灯照近处比照远处亮。

为什么值得理解做照明设计，希望整张桌面都够亮，而且各处亮度差不多，也没有生硬的影子。欧洲标准 EN 12464-1 对书写和阅读的要求是：平均照度 500 lx，均匀度（最暗处除以平均值）不低于 0.60。只用一盏灯，这两个要求会互相打架。

先抓重点

核心问题: 一盏 800 lm 的 LED 挂在 1.2 m 长的桌子上方 0.6 m。为什么灯下比桌角亮五倍？要怎样才能两项目标都达到？
一句话直觉: 朝下的小灯在偏离正下方 $\theta$ 角的方向上，发光强度是 $I_0\cos\theta$ 。这束光走到距离 $d$ 的桌面一点时，已经散到按 $d^2$ 增大的面积上，落下时又斜了 $\theta$ 角，所以 $E=I_0\cos^4\theta/h^2$ 。灯高 0.6 m 时，最远的桌角离灯 0.92 m， $\cos^4\theta$ 只有 0.18。把灯升高，各点看灯的角度差变小，桌面变匀，但整张桌子按 $1/h^2$ 一起变暗。几盏灯沿桌面排开，彼此补上对方边缘的暗处，桌面才能又亮又匀。

核心数学模型

朝下的小灯

\begin{gathered}I(\theta)=I_0\cos\theta,\quad I_0=\frac{\Phi}{\pi}\\E=\frac{I(\theta)\cos\theta}{d^2}=\frac{I_0}{h^2}\cos^4\theta\end{gathered}

从各个方向看都一样亮的平面发光体叫 Lambert 光源。它正下方的发光强度最大，为 $I_0$ ，越斜越弱；总光通量 $\Phi$ 等于 $\pi I_0$ 。照度 $E$ 按 $1/d^2$ 下降，也随光线落下的倾斜程度下降。这些光度学量的定义见 NIST 特别出版物 250-37（Ohno 1997）。

有实际大小的灯面

\begin{gathered}L=\frac{\Phi}{\pi s^2},\qquad E=\pi L\,F\\E_0=4L\,\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\arctan\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\\a=\frac{s}{2h}\end{gathered}

边长 $s$ 的正方形灯面亮度为 $L$ ，也就是人眼看它有多亮。它在某一点产生的照度，等于 $\pi L$ 乘角系数 $F$ ：灯面在这一点视野里占的份额，按倾斜程度加权。Hottel（1931）给出了平行矩形的闭合解。灯面中心正下方的照度就是 $E_0$ 。灯面很小时， $E_0\approx(I_0/h^2)(1-s^2/3h^2)$ ，回到平方反比；灯面远宽于高度时， $E_0\to\pi L$ 。

作业目标

U_0=\frac{E_{\min}}{\bar E},\qquad\bar E\ge500\,\mathrm{lx},\quad U_0\ge0.60

EN 12464-1 把这两项列为书写、打字、阅读和数据处理的要求，指作业区域上的维护值。本实验把它们用于整张桌面，只算直射光，房间不反射任何光，所以真实房间的读数会更高。

软阴影的两条边界

\begin{gathered}x_{\pm}=\frac{(\rho+r)\,h\mp\tfrac{s}{2}\,h_{\mathrm{b}}}{h-h_{\mathrm{b}}}\\w=x_{-}-x_{+}=\frac{s\,h_{\mathrm{b}}}{h-h_{\mathrm{b}}}\end{gathered}

沿桌面量，起点是灯面中心的正下方，方向穿过瓶子轴线，瓶子轴线离起点 $\rho$ 。瓶子半径 $r$ 、高 $h_{\mathrm{b}}$ 。灯面远侧的光擦过瓶口落到 $x_{-}$ ，近侧的光落到 $x_{+}$ 。在这个竖直平面里， $x_{+}$ 以内整片灯面都被挡住， $x_{-}$ 以外一点也不挡。中间这段软边宽 $w$ ：2 cm 的 LED 挂在 0.6 m 高时是 1.2 cm，0.6 m 的面板是 35 cm。

常见难点

不只看距离

容易误解照度只随距离的平方下降。

正确理解它还随光线的倾斜下降。对朝下的小灯，倾斜多带来两个 $\cos\theta$ 因子：一个因为灯往侧面发的光少，一个因为光斜着落下。所以桌角得到的是正下方的 0.18，而不是只看距离时的 0.43。

灯大不等于灯亮

容易误解灯越大，照到桌上的光越多。

正确理解光通量相同，发出的光就一样多，只是散向更多方向。实验里 0.6 m 的面板把 36 % 的光通量送到桌面，裸 LED 是 40 %；面板的发光面还暗了 900 倍。

平方反比有适用范围

容易误解平方反比定律在任何距离都成立。

正确理解它对点光源成立；对实际光源，要等距离达到光源尺寸的好几倍才成立。NIST 的光度测量指南提醒，离大灯很近时平方反比不太准（Ohno 1997）。在 0.6 m 面板下方 0.3 m 处，它把光估多了 2.3 倍。

动手实验

01
看亮斑
保持默认预设“裸 LED：一块亮斑，一道硬影”。
你会看到： 桌面在 LED 正下方最亮，707 lx，到桌角降到 135 lx。平均 385 lx，均匀度 0.35，两项都没达到。灯发出的 800 lm 里，只有 40 % 落在桌面上。
02
移动探头
把探头沿桌面从 0 滑到 0.4 m。
你会看到： 灯正下方探头读 707 lx；到 0.4 m 处读 339 lx，这里离灯 0.72 m，偏离正下方 34°。换成光通量相同的点光源，读数相差不到 0.1 %，因为这颗 LED 只有 2 cm 宽。
03
把灯升高
把灯拖到 1.2 m，或载入“把灯升高：均匀了，但暗了”。
你会看到： 均匀度升到 0.70，超过 0.60，但平均照度降到 145 lx，落在桌面上的光只剩 15 %。看均匀度随高度变化的那张图：曲线只在 0.45 m 以下是实线（平均不低于 500 lx），那里均匀度不到 0.25。一盏 800 lm 的 LED 做不到两项都达标。
04
放大成面板
载入“大面板：影子变软”。
你会看到： 同样的 800 lm 现在从 0.6 m 宽的面上发出，看上去暗了 900 倍：亮度从 $637\,000\,\mathrm{cd/m^2}$ 降到 $707\,\mathrm{cd/m^2}$ 。瓶子的影子有了 35 cm 宽的软边，连最暗处也保留 12 % 的光，因为 7 cm 粗的瓶子挡不住整块面板。均匀度却只从 0.35 升到 0.43。
05
贴近面板
载入“低挂面板：平方反比失效”。
你会看到： 面板挂在 0.3 m 高，0.2 m 处的探头读 952 lx，同样光通量的点光源会给出 1360 lx。面板正下方是 1230 lx，点光源是 2830 lx，相差 2.3 倍。在照度随距离变化的图上，两条曲线要到大约六个面板宽度、3.4 m 以外，才相差不到 1 %。
06
把灯排开
载入“三块面板：两项目标都达到”。
你会看到： 三块 0.4 m 的面板挂在 0.85 m 高，间隔 0.4 m，平均 638 lx，均匀度 0.66，两项都达到；高度在 0.70 到 1.00 m 之间都行。同样位置换成三颗裸 LED 也一样好，661 lx、0.65，只是影子很硬。让桌面变匀的是间距和高度，面板管的是影子软不软。

照明与辐射度工作室

用会随距离变暗的灯，把桌面照均匀

核心数学模型

朝下的小灯

有实际大小的灯面

作业目标

软阴影的两条边界

常见难点

不只看距离

灯大不等于灯亮

平方反比有适用范围

动手实验

看亮斑

移动探头

把灯升高

放大成面板

贴近面板

把灯排开

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