光学 090 · 光纤、结构光与现代波动光学

Gaussian 光束 Lab

聚焦的 Gaussian 光束穿过焦点时，宽度和相位怎样变化？ 光束先收窄到束腰，再逐渐展宽：离束腰一个 Rayleigh 长度处，宽度变为根号二倍，更远处按固定的发散角张开。透镜会改变束腰的位置和大小。穿过焦点时，Gouy 相位额外多出半个周期，做模式匹配时必须算进去。

在三维高斯聚焦台上，看透镜怎样变换复光束参数。可以采样模式场，连续追踪 Gouy 相位和波前曲率的正负，按二阶矩计算束质因子，并冻结探测记录。

采样二阶矩半径

w_D

$0.50$

连续基模 Gouy 亏损

\Psi_{00}

$50\%$

理想目标模式耦合

\eta

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

Gaussian 光束 Lab

输入二阶矩束腰半径；束腰在原点

w_{D,0}

280\,\mu\mathrm m

理想空气中的真空波长

\lambda_0

633\,\mathrm{nm}

指定的非相干模式混合

M^2

1

薄透镜光焦度；零表示移除透镜

1/f

12\,\mathrm{m}^{-1}

透镜相对输入束腰的位置

z_L

100\,\mathrm{mm}

探测面在透镜下游的距离

d

100\,\mathrm{mm}

聚焦改变的不只是光斑大小，光束的相位还会落后于平面波。移动薄透镜和探测面，追踪一个连续变化的复光束参数，看看为什么两个一样大的光斑仍可能不匹配。调高束质因子时，模型按指定方式非相干地混入其他模式。

光在空气中按标量近轴近似传播，薄透镜理想，口径无限大。束质因子来自指定的基模与一阶模非相干混合，因此总场没有唯一的相位。三维显示比例固定，仅作示意；理想探测窗随光束自适应。不考虑像差和截光，也不对应实测仪器。

先抓重点

核心问题: 聚焦的 Gaussian 光束穿过焦点时，宽度和相位怎样变化？
一句话直觉: 模式匹配看的是两个场重叠多少，不是亮斑一样大不一样大： $\eta=\sum_j p_j\left|\int u_{\rm target}^{*}u_j\,d^2r\right|^2$ 。即使强度半径相同，曲率不匹配也会降低耦合。非相干的各个模式，先各自算重叠的平方，再按功率权重相加。

核心数学模型

坐标、半径与复参数

q(z)=z-z_w+iz_R,\quad z_R=\frac{\pi w_{b,0}^2}{\lambda_0},\quad w_D=2\sigma_x=\sqrt{M^2}\,w_b

空气折射率取一。长度统一按米计算，控件则以微米、纳米和毫米显示。光轴从光源指向探测面，输入束腰定义绝对原点。模式基半径是振幅降到峰值 e 分之一时的半径；只有纯基模时，二阶矩半径才与它相等。它不是直径，也不是波前曲率半径。

薄透镜改变相位，不改变瞬时强度

q_+=\frac{q_-}{1-q_-/f},\quad q_d=q_++d,\quad\frac1{R_+}=\frac1{R_-}-\frac1f

无损、口径无限的透镜给场乘上一个二次相位，前后两面束宽相同。输出复参数的实部和虚部给出新束腰的位置和 Rayleigh 长度，虚束腰也包括在内。光焦度为零就等于没有透镜，但透镜位置仍是下游探测距离的参考点。

连续的 Gouy 相位与明确的模式混合

E_{mn}\propto H_m(\sqrt2x/w_b)H_n(\sqrt2y/w_b)e^{-r^2/w_b^2}e^{ikr^2/(2R)-i(m+n+1)\Psi_{00}}

约定采用正向空间载波和负时间相位。去掉前向载波后，Gouy 相位滞后以原始束腰为起点。透镜轴上的相位是连续的，输出的反正切不能不加偏置就重新归零。在自由空间里，基模从束腰远前方走到远后方，一共滞后一个圆周率。这是相对平面波的相位，不代表光变慢，也不是群延迟。

束质因子不唯一确定场

p_{00}=2-M^2,\quad p_{10}=p_{01}=\frac{M^2-1}{2},\quad I=\sum_jp_j|u_j|^2,\quad1\leq M^2\leq2

这是一种特定的旋转对称非相干混合，各模式共用一个模式参数。改变权重时，二阶矩束腰保持在控件设定值，所以模式基的束腰也跟着变。每个分量有各自的 Gouy 阶数，混合光却没有单一的电场相位。还有许多光束具有相同的束质因子；本模型既不识别它们，也不模拟任意光源。

常见难点

一个束质因子能给出唯一 Gouy 相位吗？

容易误解把高斯场里的波长乘上束质因子，得到的仍是物理上成立的相干场。

正确理解不能。只看二阶矩传播，定不下相干性和模式相位。这里用一个明确归一化的模式混合来决定强度和耦合，每个分量仍用真实波长，保有各自的相位。

动手实验

01
场景 1：追踪真实焦点
从自由空间开始。改变输入束腰和波长，移动探测面，把采样得到的二阶矩半径和焦散曲线对比。原始束腰位于坐标原点。
你会看到： 束腰处波前曲率为零，曲率半径无穷大，强度半径则取到有限的最小值。
02
场景 2：移除透镜
选透镜预设，移动透镜并调节光焦度。输出束腰一般不在透镜后一个焦距处。穿过实束腰时，曲率变号，束宽却始终有限。
你会看到： 目标模式是单独给出的理想参考，不是从探测数据重建的。两个模式无损传播时，移动它们共同的观察面，全平面重叠不变。
03
场景 3：非相干模式混合
调高束质因子，基模的权重转给一对等权、非相干的一阶模式。观察光斑变化、两条 Gouy 分支，以及与同轴模式耦合的下降，然后冻结实际的模式场。
你会看到： 三维场景中，只有连在出射光路上的小平面是探测面。焦散、相位曲线、模式条和冻结记录都放在单独的数据区。亮度和三维中不等的比例只是显示方式，不代表实测功率的变化。

Gaussian 光束 Lab

检验Gaussian 光束 Lab的物理过程

核心数学模型

坐标、半径与复参数

薄透镜改变相位，不改变瞬时强度

连续的 Gouy 相位与明确的模式混合

束质因子不唯一确定场

常见难点

一个束质因子能给出唯一 Gouy 相位吗？

动手实验

场景 1：追踪真实焦点

场景 2：移除透镜

场景 3：非相干模式混合

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