光学 048 · 干涉、相干、光腔与精密测量

Fabry–Pérot 被动腔

两面高反射镜为什么能让光全部透过，损耗又怎样改变共振？ 共振时，光每往返一趟就漏出一点，这些光在透射方向步调一致地叠加，在反射方向正好抵消。两面镜子相同、又没有损耗，光就全部透过去，能量并没有凭空多出来。有损耗时，一部分光被吸收，光在腔里存不了那么久，共振峰就变宽。

移动三维双镜腔的一面镜子，把多次往返的相干回波叠加起来。光电探测器读出透射光和反射光；可以加入分布吸收，检验精确的 Airy 峰宽，并单独做一次能量衰减实验。

透射／反射／吸收功率

P_T,P_R,P_A

$0.50$

模式间距／精确 Airy 峰宽／精细度

\mathrm{FSR},\Delta\nu_A,\mathcal F_A

$50\%$

能量寿命／Lorentzian 线宽／匹配输入镜

\tau_E,\Delta\nu_L,R_{1,\mathrm{crit}}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

Fabry–Pérot 被动腔

输入镜功率反射率（无吸收镜）

R_1

0.90

输出镜功率反射率（无吸收镜）

R_2

0.90

腔内单程分布功率损耗

\ell

0\,\%

真实镜距（可拖动金色输出镜）

L

50\,\mathrm{mm}

频率失谐／自由光谱范围

\Delta\nu/\mathrm{FSR}

0

输入激光功率

P_{\mathrm{in}}

1\,\mathrm{mW}

独立关光实验的采样时间／能量寿命

t/\tau_E

1

共振时，两面匹配的无损镜让输入光全部透过。失谐后，透射下降，反射回来。提高反射率，峰变窄，腔内储存的光变多。加入损耗，再匹配输入镜：反射为零，不代表吸收为零。拖动金色镜面可以改变间距；频率控制跟随所选模式，所以固定的归一化失谐保持不变。频谱和单独的关光衰减实验在光台下方。播放只移动放慢的路径标记。

腔内是正入射的标量平面波。部分反射膜无损，分布损耗是给定的、不随频率变化，光在折射率为一的介质中传播。理想无损的三端口环行器把回光分出来。不考虑稳定的高斯横模、衍射、色散、膜层相位、探测噪声、增益和激光阈值，也不宣称精度。器件和光束放大显示，亮度为对数标尺，放慢的标记不是光子。

物理教程

检验Fabry–Pérot 被动腔的物理过程

背景半透镜不断把新的光场送进腔内，前几次往返的光场同时回来。各复振幅先相加、再取平方，透射功率比例为 $T=\frac{(1-R_1)(1-R_2)a}{|1-\rho e^{i\delta}|^2}$ 。两面膜层都不吸收，但腔内另设的分布损耗可以吸收能量。这是一维、正入射的平面波模型，不是带有限高斯模式的稳定谐振腔。

为什么值得理解两面高反射镜为什么能让光全部透过，损耗又怎样改变共振？

先抓重点

核心问题: 两面高反射镜为什么能让光全部透过，损耗又怎样改变共振？
一句话直觉: 共振时全透射，既不违背镜面反射率，也没有凭空产生能量。随时留意 $T+R+A=1$ 。有损耗时，匹配的输入可以抵消反射，但一部分能量被吸收，没有透过去。Airy 扫描峰宽和能量衰减线宽，只有在高精细度下才近似相等。

核心数学模型

镜距、频率与往返因子

\begin{aligned}a&=1-\ell,\quad \rho=\sqrt{R_1R_2}\,a\\t_{\mathrm{RT}}&=2L/c,\quad\mathrm{FSR}=c/(2L)\\\nu_m&=m\,\mathrm{FSR},\quad\delta=2\pi\Delta\nu/\mathrm{FSR}\end{aligned}

反射率指功率比例。损耗滑块输入百分数，这里换算成比例。a 是单程后存留的功率比例，所以双程振幅因子里出现的是 a 本身，而不是它的平方根。整数模式选为最接近 632.8 nm 设计载波的那一个。改变镜距时，光源也会重新调到该模式再加上所选的归一化失谐，所以这不是固定激光、扫描腔长。光速取 c，衰减与色散分开指定。

回波按振幅叠加，不按功率相加

\begin{aligned}\sum_{j=0}^{\infty}(\rho e^{i\delta})^j&=\frac1{1-\rho e^{i\delta}}\\D&=(1-\rho)^2+4\rho\sin^2(\delta/2)\\G_+&=(1-R_1)/D\end{aligned}

G 是输入面处腔内前行功率与入射功率之比，不是总储能，也不是净输出增益。相量面板画出前 16 项，另画精确的无限和，并标出遗漏的振幅比例；反射率高时，16 次回波远远不够。相量刻度自动缩放，不表示电场的绝对大小。

双端探测与分布吸收

\begin{aligned}T&=(1-R_1)(1-R_2)a/D\\R&=(R_1+R_2a^2-2\rho\cos\delta)/D\\A&=(1-R_1)(1-a)(1+R_2a)/D\\P_T&=P_{\mathrm{in}}T,\quad T+R+A=1\end{aligned}

反射光里有两部分在干涉：输入镜直接反射的光，和从腔内漏回来的光。两面镜相同且无损时，共振处反射消失，透射为一。吸收介质的等效功率衰减处处相同；两面膜层都不吸收。理想无损三端口环行器把输入送进腔内，再把沿轴返回的光导向反射光电探测器。它不是互易分束器，也不是不透明的折叠镜。

精确 Airy 半峰宽何时有定义

\begin{aligned}\frac{\Delta\nu_A}{\mathrm{FSR}}&=\frac2\pi\arcsin\frac{1-\rho}{2\sqrt\rho}\\\mathcal F_A&=\mathrm{FSR}/\Delta\nu_A\\\rho&\ge 3-2\sqrt2\end{aligned}

半高指共振峰值的一半，不是峰谷差的一半。反馈低于最后一行的界限时，整条扫描都高于半峰值，因此不给出 Airy 半高宽和 Airy 精细度。频谱在每个窄峰附近额外加密采样，另有放大图，均匀网格就不会漏掉峰。曲线是理想的频率扫描，不是实测激光谱。

储能衰减比场振幅快一倍

\begin{aligned}Q_{\mathrm{RT}}&=R_1R_2a^2=\rho^2\\\tau_E&=-t_{\mathrm{RT}}/\ln Q_{\mathrm{RT}}\\U(t)/U_0&=e^{-t/\tau_E}\\\Delta\nu_L&=1/(2\pi\tau_E)\end{aligned}

单独的关光实验给出储能的指数包络，以及每经过整数次往返后精确的存留采样。场振幅衰减慢一倍。对这个衰减场做傅里叶变换，得到 Lorentzian 模式线宽；精细度低时，它与精确的周期 Airy 扫描峰宽不同。往返之间画的只是包络，不是突然关光后完整的 Maxwell 瞬态，也不是探测器响应。拖动采样时间滑块，不会关掉 3D 光台上受驱动的稳态。

吸收腔中的临界耦合

\begin{aligned}\delta&=0,\quad R_{1,\mathrm{crit}}=R_2a^2\\R&=0,\quad T+A=1\end{aligned}

输入镜的振幅反射率必须等于衰减后返回光的振幅。有损耗时，匹配的输入镜反射率低于输出镜。快捷按钮只能选到最接近的输入滑块刻度，一般情况下会残留少量反射；10% 损耗预设正好匹配。模型不含增益介质、粒子数反转、激光阈值和横模稳定性，也不代表真实仪器的精度。

常见难点

镜子越反光，不代表透射越强

容易误解反射率越高，透射总是越强；反射为零，就说明腔没有损耗。

正确理解偏离共振时，反射率越高，透射越弱。共振时，只有匹配的无损镜对才能全透射。有损的临界耦合预设里，反射照样消失，但吸收条不为零。共振越窄，储光时间越长：带宽换来了寿命。

动手实验

01
场景 1：无损共振全透射
先停在共振上，再加失谐；比较实际的两条出光路线和两个探测比例。
你会看到： 腔内往返的光共用同一条轴。半透镜的基底透明，探测器机身位于接收面后方。
02
场景 2：窄峰与能量存储
选窄峰预设，拖动金色输出镜：镜距、模式间隔和寿命一起变，归一化失谐保持不变。
你会看到： 所有数据面板都在 3D 装置之外。光束亮度按输入归一化，用对数显示。输入功率只改变绝对读数，不改变归一化曲线和光束亮度。器件尺寸是示意，不是标定过的照片。
03
场景 3：有损临界耦合
试有损临界耦合：先破坏输入匹配，再恢复到最近的匹配。把两面反射率都调到最小，Airy 半高宽就失去定义。
你会看到： 播放只让路径标记动起来。开启减弱动态后，稳态功率、频谱和单独的关光衰减数据都不变。

Fabry–Pérot 被动腔

检验Fabry–Pérot 被动腔的物理过程

核心数学模型

镜距、频率与往返因子

回波按振幅叠加，不按功率相加

双端探测与分布吸收

精确 Airy 半峰宽何时有定义

储能衰减比场振幅快一倍

吸收腔中的临界耦合

常见难点

镜子越反光，不代表透射越强

动手实验

场景 1：无损共振全透射

场景 2：窄峰与能量存储

场景 3：有损临界耦合

相关实验与文章

建立、扫描与关断