混沌 · 非线性动力学

Double Pendulum

几乎相同的起点，多久以后会走向完全不同的轨迹？ 用不了多久。双摆的运动完全确定，可非线性会把初始的微小差别按指数放大：两次释放只差千分之一度，很快就各摆各的，轨迹完全不同。

这是一台三维金属双摆，运动用 RK4 方法实时积分。速度箭头和发光轨迹跟着末端，把它走过的路留在空间里。紫色孪生摆画在一层平行平面上，起始角度只差千分之一度，看它能跟原摆同步多久。

时间0.0 s

总能量0.00 J

末端速度0.00 m/s

孪生偏差0.00°

先抓重点

E=T+U\approx\text{constant}

动能和势能不断互相转换。总能量如果明显漂移，原因通常是阻尼或数值积分误差。

\delta(t)\approx\delta_0e^{\lambda_{\mathrm L}t}

Lyapunov 指数 $\lambda_{\mathrm L}$ 为正时，初始差异按指数增长；它也决定了系统能被预测多久。

容易误解轨迹看起来毫无规律，所以系统背后没有确定的方程。

正确理解每一刻的运动都由同一组方程决定。不确定性来自初态：测量精度总是有限的。

容易误解只要总能量不变，轨迹就应该重复。

正确理解能量守恒只规定系统能到达哪些状态，并不要求它沿同一条闭合曲线回来。