光学 070 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

计算去模糊 Lab

去卷积何时能恢复细节，何时只会放大噪声或模型误差？ 模糊削弱了但还透过来的频率，去卷积能救回来。光学传递函数为零的频率，信息根本没到达传感器；在那附近做逆滤波，等于除以一个接近零的数，只会放大噪声和模糊核的误差。先验能替这些频率挑一个看着合理的答案，但那不是测量。

用截断逆滤波、Wiener 型岭滤波和 Richardson–Lucy（RL）三种方法，复原同一份带噪相机记录。看看错误的模糊核会造成什么伪影，哪些频率怎样都恢复不了。

仅模拟模糊／复原误差

\varepsilon_{\rm blur},\varepsilon_{\rm restore}

$0.50$

数据拟合／小传递面积

\varepsilon_D,m

$50\%$

像侧数值孔径／实际传感距离

{\rm NA},d_{\rm sensor}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

计算去模糊 Lab

模糊类型（名称见下方按钮）

j_h

0

瞳边缘相对中心离焦波数

w_d

0.55\lambda

快门内像移总长度

\ell

12\mathrm{px}

像移方向（从图像右方起顺时针计）

\theta_m

25^{\circ}

Gaussian 视宁核标准差

\sigma_s

2\mathrm{px}

像散相位系数（非 RMS）

w_a

0.75\lambda

合成目标（名称见下方按钮）

j_f

0

单位亮度对应的期望光电子数

E

100\mathrm{e}^{-}

独立 Gaussian 读噪标准差

\sigma_r

0\mathrm{e}^{-}

零为期望值，一为带噪声的采集

n

0

算法（下方命名按钮）

j_{\rm restore}

1

假设噪声与信号的谱比为常数

K

0.002

RL 迭代步数

k

30

假定核尺度／真实核尺度

s_h

1

探针横位置（向右为正）

q_x

12\mathrm{px}

探针竖位置（向下为正）

q_y

-14\mathrm{px}

同一份相机记录，用三种方法复原。让传感器离焦、在曝光时让像移动，或加入 Gaussian 视宁度和像散。比较记录的图像和各个复原结果，再故意给算法一个错误的 PSF。拖动真值图上的探针，查看横截面。噪声、振铃和丢失的频率都看得见：图像看起来清晰，不等于丢掉的细节回来了。

测试场是合成的非相干周期图样，PSF 已知或经过有意扰动。不使用真实相机数据，也不做盲复原。Gaussian 视宁度只是近似。有读出噪声时，RL 用的不是精确的 Poisson–Gaussian 混合似然。

先抓重点

核心问题: 去卷积何时能恢复细节，何时只会放大噪声或模型误差？
一句话直觉: 所有算法都看不到真实图像。在光学传递为零的地方， $H(\nu)=0\ \Longrightarrow\ \text{lost mode}$ 。先验可以挑出一个答案，却不能证明缺失的细节被测到了。试试截止外目标。

核心数学模型

先计光子，再做电子读出

\begin{aligned}\mu_i&=E(h*f)_i\\P_i&\sim\operatorname{Poisson}(\mu_i)\\D_i&=P_i+\epsilon_i\\\epsilon_i&\sim\mathcal N(0,\sigma_r^2)\end{aligned}

散粒噪声和电子读出噪声相互独立。期望模式下，记录的只是均值。负的电子读数会保留下来，用于谱滤波和评分；它们并不是负光子。

由光瞳衍射得到的模糊核

\begin{aligned}P&=\mathbf1_{\rho\le1}e^{i\phi},\quad \rho^2=u^2+v^2\\\frac{\phi}{2\pi}&=-w_d\rho^2+w_a(u^2-v^2)\\h&=\frac{|\mathcal F^{-1}P|^2}{\sum|\mathcal F^{-1}P|^2}\end{aligned}

模糊核由采样圆瞳和标量衍射算出。离焦和像散改变的是相位，不是孔径透过率。运动模糊再卷积一条快门期间的移动路径；视宁度再卷积一个 Gaussian 替代核。所有卷积都在标明的网格上按周期处理。

离焦对应的传感器位移

\Delta z=\frac{2\lambda w_d}{{\rm NA}^2},\quad d_{\rm sensor}=f+\Delta z

这是一阶近轴的离焦大小。正值把传感器移到名义焦点之后，负值移到之前。纯离焦时，正负号反过来，强度不变。这不是大位移下精确的球面波计算。

截断逆滤波

\widehat F_{\rm inv}(\nu)=\begin{cases}G(\nu)/\widetilde H(\nu),&|\widetilde H|\ge10^{-3}\\0,&\text{otherwise}\end{cases}

数据除以已知的电子总数做归一化。假定的传递函数可以和真实的不同。阈值避免了除以数值零，但噪声仍可能被严重放大。

常数比的 Wiener 型滤波

\widehat F_K=\frac{\widetilde H^*}{|\widetilde H|^2+K}\,G

常数谱比由用户设定，在这里等同于用单位矩阵作罚项的岭回归。它不是经过标定、随频率变化的最优 Wiener 滤波，而且 Poisson 噪声随信号变化。评分用的是带正负号的原始估计，没有经过显示截断。

RL 迭代只用采集到的记录

f^{(k+1)}=f^{(k)}\odot\widetilde H^T\!\left(\frac{D/E}{\widetilde H f^{(k)}}\right)

迭代从一张正的均匀图开始，用归一化模糊核的伴随算子。似然只考虑 Poisson 噪声，最多迭代八十步；提前停止本身就是一种隐含的先验。存在 Gaussian 读出噪声时，这个近似更新会把负数据截为零，并给出警告。参数不会参照真值自动调整。

常见难点

越锐利就越正确吗？

容易误解复原锐利、拟合残差小，就证明细节已恢复。

正确理解逆滤波会放大噪声，正则化会带来偏差，RL 迭代太多会去拟合噪声。要看相对单独保存的模拟真值的评分，以及光学系统能传过来的频带，不能只看锐不锐。

动手实验

01
场景 1：离焦 · 可恢复频带
从离焦开始，查看传感器正面。用同一个尺度对比采集图和复原图。
你会看到： 离焦会移动相机本身，但不改变透光的光瞳。模糊核经过归一化，标明的光电子总数保持不变。
02
场景 2：运动与读出噪声
保持同一份记录，切换复原算法。加噪声、增加 RL 步数，或者故意扰动交给算法的 PSF。
你会看到： 所有算法用的是同一份原始记录。改变假定的模糊核，只改变处理，不改变采集。
03
场景 3：Poisson 星场 · RL 迭代
拖动答案探针，设定所有图共用的横截面。选择截止外条纹，看采集里已经缺失的信息。
你会看到： 放大的噪声、偏差、错误模糊核造成的伪影，以及传递为零的频带，都看得见。拟合得更好，不一定复原得更真。