光学 063 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

Abbe 分辨率实验室

Abbe–Porter 级次选择光台：用倾斜照明找回隐藏光栅，改变真实瞳孔，并揭露假半间距细节。

轴向／当前未掩模周期支持

p_{\rm axial},p_{\rm support}

$0.50$

透过级次数／单元胞通光率

N_{\rm pass},T_{\rm cell}

$50\%$

法向截线反差／真实周期振幅

C_{\rm cut},A_{1/p}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

Abbe 分辨率实验室

有效物镜数值孔径（空气）

\mathrm{NA}

0.45

光栅完整周期（不是半间距）

p

800\,\mathrm{nm}

相干单色波长

\lambda

550\,\mathrm{nm}

水平入射正弦／物镜 NA

\beta

0

光栅法向相对水平的角度

\alpha

0^{\circ}

物体编号（下方命名按钮）

o

0

瞳掩模编号（下方命名按钮）

h

0

二值开孔宽度／周期

D

0.50

物体法向平移／周期

\delta/p

0.20

线性显示增益（不改原始数据）

G

1

第一幕，条纹消失：瞳孔只收进一个级次。第二幕，不扩大孔径，只倾斜照明，零级与一个相邻级次干涉，原始周期重新出现。第三幕，挡掉零级，图案看起来细了一倍，真实周期信号却消失了：反差大不等于保真分辨。可在计算瞳图中水平拖动零级点来改变照明；让交叉网格经过水平狭缝，抹去一个方向。实体光阑、级次支持、原始截线及接收像都来自同一相干场；放大记录留在三维装置外。

空气中理想标量相干无限周期物体与正弦瞳，单位倍率 4f 硬件示意。精确透过谐波求和；硬阈值、点采样、场景不等比例。不含有限边缘、矢量、像差或相机噪声；不是通用双点判据或叠层重建。

先抓重点

核心问题: 为什么倾斜照明能找回看不见的条纹，而挡住一个级次却会伪造双倍细节？
一句话直觉: 像是干涉计算，不是给参考图涂一层模糊： $I_{\rm img}=\left|\sum c_{mn}P_{mn}e^{-2\pi i(\boldsymbol\nu_{mn}\cdot\boldsymbol r+m\delta/p)}\right|^2$ 。只剩一个级次时强度均匀；相邻两级可编码原始周期，正负一级而无零级却编码半周期。

核心数学模型

频率与实体瞳坐标

\begin{aligned}\boldsymbol\nu_{mn}&=\frac1p\mathsf R_\alpha(m,n)\\\boldsymbol s_i&=(\beta\mathrm{NA},0)\\\boldsymbol r_P&=f(\boldsymbol s_i+\lambda\boldsymbol\nu_{mn})\\R_P&=f\mathrm{NA}\end{aligned}

横向为水平及向下竖直；旋转角把第一光栅法向从水平转向下方。波长及周期用微米，瞳坐标用毫米。理想正弦瞳映射不是高 NA 矢量镜片处方。

轴向与对齐斜照周期

\begin{aligned}p_{\rm axial}&=\frac\lambda{\mathrm{NA}}\\p_{\rm aligned}&=\frac\lambda{\mathrm{NA}+|\sin\theta_i|}\\p_{\rm edge}&\to\frac\lambda{2\mathrm{NA}}\end{aligned}

这是光栅完整周期，不是半间距或 Rayleigh 点间距。最后一个极限需要照明在瞳边缘且与光栅频率对齐。实时支持值还考虑光栅旋转，但不考虑额外瞳掩模。

没有新信息的假半间距

\begin{aligned}t(x)&=\tfrac12+\tfrac12\cos(2\pi x/p)\\U_{\rm no\,DC}&=\tfrac12\cos(2\pi x/p)\\I_{\rm no\,DC}&=\tfrac18[1+\cos(4\pi x/p)]\end{aligned}

对齐平滑条纹且收进两侧一级时，挡零级会抹掉强度的基频，截线反差仍可为一。模拟保留这个伪影，不拿清晰物图替换它。

单元胞强度与探测显示

\begin{aligned}\langle I_{\rm out}\rangle&=\sum|c_{mn}P_{mn}|^2\\T_{\rm cell}&=\frac{\langle I_{\rm out}\rangle}{\langle|t|^2\rangle}\\B&=\min(1,G I/I_{\rm inc})\end{aligned}

正交性给出完整周期胞的标量均方透射，不是显示裁剪内总功率或经标定斜入射通量。接收图在八微米内每边一百九十二点采样；五百一十二点原始截线沿第一法向覆盖一个周期。纵轴范围标出且可重缩放，但数据不含显示增益。

常见难点

看着更细的图案，可能是错误图案

容易误解反差更大，或条纹数量翻倍，就证明分辨率提高。

正确理解平滑条纹挡掉零级后，只剩正负一级；它们的强度具有原始半间距，而原始频率振幅为零。这是级次选择干涉，不是新增物体信息。除了反差，还要检查标出的真实周期振幅。

动手实验

01
场景 1：轴向照明 · 条纹消失
轴向照明中缓慢打开瞳孔，观察一级何时进入。突变来自本模型的无限周期理想化。
应该观察到： 改变波长移动级次，而实体 NA 光阑不变。改变 NA 会改变真实孔径半径；固定归一倾斜也会联动光源。
02
场景 2：倾斜照明 · 找回周期
倾斜预设中水平拖动瞳图零级点，再旋转光栅：同样倾斜对垂直频率并没有相同帮助。
应该观察到： 二值开孔含许多谐波；收集更多可使边缘变锐，选择导致的振铃与假细节仍会保留。
03
场景 3：挡掉零级 · 假半间距
比较开放、只留零级及挡零级的瞳，再让交叉网格通过水平狭缝，对照原始法向截线。
应该观察到： 一次斜照曝光恢复选定方向的信息，不会合成各向同性高分辨率图，也不会从强度恢复相位。