光学 063 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

Abbe 分辨率实验室

为什么斜着照明能看清原本分辨不出的条纹，挡掉一部分光又会造出更细的假条纹？ 细条纹把光衍射到很大的角度，物镜至少要收进两个衍射级、让它们干涉，才成得了像。倾斜照明把各级整体偏向一边，零级和一个一级就能同时进入光瞳，条纹重新出现。如果只放正负一级通过、挡住零级，它们干涉出的条纹周期只有原来一半，这种细节样品上根本没有。

在 Abbe–Porter 光台上挑选衍射级次。用倾斜照明找回看不见的光栅，开大瞳孔，并看看假的半间距细节是怎样出现的。

轴向／当前未掩模周期支持

p_{\rm axial},p_{\rm support}

$0.50$

透过级次数／单元胞通光率

N_{\rm pass},T_{\rm cell}

$50\%$

法向截线反差／真实周期振幅

C_{\rm cut},A_{1/p}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

Abbe 分辨率实验室

有效物镜数值孔径（空气）

\mathrm{NA}

0.45

光栅完整周期（不是半间距）

p

800\,\mathrm{nm}

相干单色波长

\lambda

550\,\mathrm{nm}

水平入射正弦／物镜 NA

\beta

0

光栅法向相对水平的角度

\alpha

0^{\circ}

物体编号（名称见下方按钮）

o

0

瞳掩模编号（名称见下方按钮）

h

0

二值开孔宽度／周期

D

0.50

物体法向平移／周期

\delta/p

0.20

线性显示增益（不改原始数据）

G

1

第一个预设里条纹消失了，因为瞳孔只收进一个衍射级次。第二个预设不扩大孔径，只倾斜照明：零级和一个相邻级次发生干涉，原来的周期又出现了。第三个预设挡掉零级，图案看起来细了一倍，真实周期的信号却没了。反差高，不代表分辨得真实。在计算瞳图里左右拖动零级点，可以改变照明方向；在水平狭缝下转动交叉网格，可以抹掉一个方向。光阑、通过的级次、原始截线和接收像都来自同一个相干场。放大的记录放在三维装置之外。

样品是空气中理想的标量相干无限周期物体，瞳孔用正弦坐标描述；放大率为一的 4f 硬件只作示意。像由所有通过的谐波精确求和得到。级次按硬阈值决定通过与否，结果是点采样，场景各部分比例不同。不考虑有限边缘、矢量效应、像差和相机噪声。它不是通用的双点判据，也不是叠层成像重建。

物理教程

检验Abbe 分辨率实验室的物理过程

背景周期性样品把相干平面波衍射成一个个分立的级次。某一级要进入圆形光瞳，需要满足 $\left\lVert\boldsymbol s_i+\lambda\boldsymbol\nu_{mn}\right\rVert\le\mathrm{NA}$ 。倾斜光源时，所有级次一起平移；级次之间隔多远，由样品的完整周期决定。

为什么值得理解为什么斜着照明能看清原本分辨不出的条纹，挡掉一部分光又会造出更细的假条纹？

先抓重点

核心问题: 为什么斜着照明能看清原本分辨不出的条纹，挡掉一部分光又会造出更细的假条纹？
一句话直觉: 像就是穿过光瞳的各级次相互干涉的结果： $I_{\rm img}=\left|\sum c_{mn}P_{mn}e^{-2\pi i(\boldsymbol\nu_{mn}\cdot\boldsymbol r+m\delta/p)}\right|^2$ 。只剩一个级次时，强度处处一样。相邻两级能还原原来的周期；正负一级如果没有零级陪着，干涉出的条纹只有原周期的一半。

核心数学模型

光栅频率与光瞳上的位置

\begin{aligned}\boldsymbol\nu_{mn}&=\frac1p\mathsf R_\alpha(m,n)\\\boldsymbol s_i&=(\beta\mathrm{NA},0)\\\boldsymbol r_P&=f(\boldsymbol s_i+\lambda\boldsymbol\nu_{mn})\\R_P&=f\mathrm{NA}\end{aligned}

横向坐标取水平方向和竖直向下方向。旋转角让第一条光栅法线从水平转向竖直向下。波长和周期用微米，光瞳坐标用毫米。这里用的是理想的正弦光瞳映射，不能当作高 NA 镜头的矢量设计。

轴向照明与对齐斜照的截止周期

\begin{aligned}p_{\rm axial}&=\frac\lambda{\mathrm{NA}}\\p_{\rm aligned}&=\frac\lambda{\mathrm{NA}+|\sin\theta_i|}\\p_{\rm edge}&\to\frac\lambda{2\mathrm{NA}}\end{aligned}

这些都是光栅的完整周期，既不是半周期，也不是 Rayleigh 两点间距。要达到最后那个极限，照明必须放在光瞳边缘，并与光栅频率对齐。实时显示的支持周期也考虑了光栅旋转，但不考虑额外的光瞳掩模。

挡掉零级，条纹周期减半

\begin{aligned}t(x)&=\tfrac12+\tfrac12\cos(2\pi x/p)\\U_{\rm no\,DC}&=\tfrac12\cos(2\pi x/p)\\I_{\rm no\,DC}&=\tfrac18[1+\cos(4\pi x/p)]\end{aligned}

条纹平滑、方向对齐、两侧一级都收进来时，挡掉零级会去掉强度里的基频，截线反差却仍可以是一。模拟把这个伪影原样留在像里。

一个周期内的平均强度与探测器显示

\begin{aligned}\langle I_{\rm out}\rangle&=\sum|c_{mn}P_{mn}|^2\\T_{\rm cell}&=\frac{\langle I_{\rm out}\rangle}{\langle|t|^2\rangle}\\B&=\min(1,G I/I_{\rm inc})\end{aligned}

各级次相互正交，求和得到的就是一个完整周期内的标量均方透射率。它不是显示区域内的总功率，也不是经过标定的斜入射通量。接收图在八微米范围内每边取一百九十二个采样点。原始截线有五百一十二个点，沿第一光栅法线覆盖一个周期。截线纵轴范围有标注，可能自动缩放，但数据本身从不乘显示增益。

常见难点

看着更细的条纹，可能是错的条纹

容易误解反差变大了，或者条纹多了一倍，分辨率肯定提高了。

正确理解平滑条纹挡掉零级后，只剩正负一级。两者干涉出的条纹周期只有原来的一半，原始频率上的振幅却变成零。多出来的条纹来自级次的取舍，并没有带来样品的新信息。别只看反差，还要看标出的原始频率振幅。

动手实验

01
场景 1：轴向照明 · 条纹消失
在轴向照明下慢慢开大光瞳，看一级什么时候进来。图像会突然改变，因为模型把光栅当成无限长。
你会看到： 改波长，级次在光瞳里移动，NA 光阑本身不动。改 NA，真实孔径的半径跟着变；归一化倾斜不变时，光源也会一起移动。
02
场景 2：倾斜照明 · 找回周期
在倾斜预设中，横向拖动瞳图上的零级点，再旋转光栅。同样的倾斜，对垂直方向的频率帮助没那么大。
你会看到： 二值开孔含有很多谐波。收进的谐波越多，边缘越锐；但只要级次有取舍，振铃和假细节就真实存在。
03
场景 3：挡掉零级 · 假半间距
依次比较全开的光瞳、只留零级的光瞳和挡掉零级的光瞳。再让交叉网格穿过水平狭缝，对照沿法向取的原始截线。
你会看到： 斜照曝光一次，只能找回所选方向上的信息。它拼不出各个方向都清晰的高分辨率像，也不能从强度里恢复相位。