光学 066 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

Schlieren 流场观察器

Toepler 透镜式 Schlieren 光台把已知透明折射率场变成方向性灰度：追踪物点、转动不透明刀片、改变光源尺寸并揭露饱和。

所选物点偏折

\theta_x,\theta_y

$0.50$

方向焦面偏移／原始点强度

q,I_p

$50\%$

空场背景／饱和采样比例

I_{\rm bg},S_{\rm clip}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

Schlieren 流场观察器

合成折射率场编号（下方命名按钮）

o

0

带符号折射率异常幅度

\Delta n_0

-1\times10^{-5}

视线方向均匀场厚度

L

40\,\mathrm{mm}

横向场宽尺度

w

4\,\mathrm{mm}

共同焦距（联动共轭硬件）

f

1000\,\mathrm{mm}

刀口面光源像半径

a

60\,\mu\mathrm m

刀口法向偏移（正值降低背景亮度）

b

0\,\mu\mathrm m

刀口敏感法线（从物面右方顺时针）

\alpha

0^{\circ}

刀口：零为移出，一为插入

k

1

探针原物点水平位置

x_p

4\,\mathrm{mm}

探针原物点竖直位置（向下为正）

y_p

0\,\mathrm{mm}

移出刀口，透明测试场消失；插回后，看不见的折射率梯度变成明暗边缘。转刀片，显露另一方向；选环形场，场不动而表观阴影转动。点击接收图，追踪一个物点到放大的光源像截断细图。刀片不透明，被拒绝的光线止于此处。光源、刀口位置、原始图及读数共用同一几何模型，不自动逐图归一化。

指定静态折射率场、均匀厚度、直线路径几何薄屏近似；均匀非相干圆光源及理想单位倒像中继。不是 CFD、真实激波、阴影法、BOS 或密度反演。不含衍射、噪声或专家认证；装置比例不同。

先抓重点

核心问题: 一片刀刃怎样看见透明空气？为什么转动它会抹去一个方向？
一句话直觉: 只有刀刃法线方向的偏折分量改变透过率： $q=f\boldsymbol\theta\cdot\hat{\mathbf e}_{\alpha}$ 。转刀口能改变明暗，却没有改变密度；均匀折射率偏移没有反差。

核心数学模型

直线路径折射率积分

\begin{aligned}n(x,y,z)&=n_0+\Delta n_0F(x,y)\\\boldsymbol\theta&\approx\frac{L\Delta n_0}{n_0}\nabla F\end{aligned}

坐标单位毫米：物面向右、向下，传播穿过厚度。小扰动折叠成薄屏；没有在完整体积中迭代弯曲光线。

有限圆盘、精确几何截断

\begin{aligned}u&=(q-b)/a\\I/I_0&=\frac12+\frac{\arcsin u+u\sqrt{1-u^2}}{\pi}\\&\qquad(-1<u<1)\end{aligned}

对半径为光源半径的均匀非相干圆盘像积分通过面积。区间外透过率为零或一。刀片遮挡法向坐标较小的半平面；正刀口偏移降低空场亮度。

灵敏度与饱和

\begin{aligned}b=0:\quad I/I_0&\approx\frac12+\frac{2q}{\pi a}\\|q|&\ll a\\\left|q-b\right|&\ge a\Rightarrow I/I_0\in\{0,1\}\end{aligned}

线性式仅适用于中心附近，不是全局裁切斜坡。每个设置都用精确圆盘面积生成记录；黑或白区不再编码唯一梯度。

两种共轭、一个中继

\begin{aligned}\mathbf r_K&=f(\boldsymbol\eta+\boldsymbol\theta)\\\mathbf r_i&=-\mathbf r_o,\qquad m=-1\\z_K&=2f,\quad z_i=4f\end{aligned}

测试面为零，收集与中继透镜位于一倍和三倍焦距。光源坐标转换为照明角。共同焦距改变时硬件联动，并保持单位倒像。透镜形状示意，不是像差模型。

常见难点

亮边缘不是热点，也不是速度箭头

容易误解亮度直接测量温度或流速；图越暗说明梯度越大。

正确理解记录取决于方向性积分折射率梯度、光源尺寸和刀口位置。光源圆盘全部通过或拒绝后，强度饱和，梯度大小信息丢失。单一视角不能恢复三维密度场或速度。

动手实验

01
场景 1：让透明羽流显现
移出再插入刀口。点击亮或暗像点，对照光源圆盘与吸收式刀片。
应该观察到： 此理想在焦薄屏在刀口移出后为单位强度；不是阴影法模拟。
02
场景 2：环形场 · 旋转明暗
选环形场，把敏感方向转四分之一圈。对照同一原始截线，不比较自动缩放的图。
应该观察到： 角向光源平面与像面属于不同共轭关系；相机把物面两个横向坐标都倒转。
03
场景 3：平滑前沿 · 饱和丢失信息
选平滑前沿，缩小光源并加长焦距。观察裁切黑白区域，再把刀口法线转到垂直前沿梯度。
应该观察到： 更小光源半径提高小信号灵敏度，却缩窄不饱和梯度范围。