光学 064 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

成像传递函数 Lab

从瞳到像的实验台，用一致的 PSF、带符号 OTF、MTF 及接收像素揭露反差翻转与错误采样周期。

非相干光学截止／接收 Nyquist

\nu_c^{\rm inc},\nu_N

$0.50$

轴上 Strehl／孔径通光率

S_0,\eta_{\rm pupil}

$50\%$

带符号非相干传递／其模

\Re\mathrm{OTF},\mathrm{MTF}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

成像传递函数 Lab

空气中有效数值孔径（改变实体孔径）

\mathrm{NA}

0.10

单色波长

\lambda

550\,\mathrm{nm}

边缘至中心失焦波数（不是 RMS）

D

0

正交像散波数系数

A

0

中心遮挡半径／孔径半径

\epsilon

0

相干模式（下方命名按钮）

c

0

靶标编号（下方命名按钮）

o

0

视场内整数周期数（条纹／靶标条形）

k

24

像素倍增编号（每级加倍）

b

0

固定线性显示增益（不改变原始数据）

G

1

透镜能把亮条纹变暗，而不改变周期。对比对焦与反差翻转预设：带符号 OTF 变负，MTF 仍为正。再扩大接收像素：看似更粗的条纹可能是混叠，不是新物体细节。同一复数瞳生成点响应、传递曲线及模拟接收像。切换非相干强度卷积与相干振幅滤波；两种模式中的 OTF 曲线都明确标为非相干诊断。打开真实光阑、遮挡中心或结合失焦与像散，分离不同方向的响应。计算瞳相位与放大记录留在三维光台之外。

标量近轴单色周期成像，合成靶标与编程相位，不是实测镜头性能。离散方块平均，固定显示增益，装置不等比例。OTF 归一化与孔径通光率分开；不含部分相干、矢量聚焦、噪声、重建或专家认证。

先抓重点

核心问题: 透镜能让明暗互换吗？像素又能凭空制造另一种条纹周期吗？
一句话直觉: 同一份点响应记录给出两个传递函数： $\mathrm{OTF}=\mathcal F\{\mathrm{PSF}\},\qquad\mathrm{MTF}=|\mathrm{OTF}|$ 。本实验的中心反演对称瞳使 OTF 为实数。失焦可让它变负，表示明暗翻转；其模会丢掉这个符号。

核心数学模型

编程复数瞳，不是 RMS 滑杆

\begin{aligned}P&=\mathbf1_{\epsilon\le\rho\le1}e^{2\pi i w}\\w&=D\!\left(\rho^2-\frac{1+\epsilon^2}{2}\right)\\&\quad+A(u^2-v^2)\end{aligned}

无量纲瞳坐标是频率除以相干截止。失焦为边缘至中心波数，像散系数在正交轴上符号相反；去掉理想环瞳内的活塞项。控制在所选波长编程相位，不是固定玻璃厚度。

两种不同正向模型

\begin{aligned}I_{\rm inc}&=\eta\,\mathrm{PSF}*I_{\rm ideal}\\I_{\rm coh}&=\left|\mathcal F^{-1}\{P\mathcal F[\sqrt{I_{\rm ideal}}]\}\right|^2\end{aligned}

两者都使用编程靶标的倒像。非相干物点没有交叉项，相干物点有。瞳面积比决定非相干通光量，相干能量则由实际振幅频谱决定。显示只在原始计算后施加固定线性增益与裁切。

截止、相位符号与接收采样

\begin{aligned}\nu_c^{\rm coh}&=\mathrm{NA}/\lambda\\\nu_c^{\rm inc}&=2\mathrm{NA}/\lambda\\\nu_N&=1/(2a_{\rm pixel})\\\Delta z&=-2\lambda D/\mathrm{NA}^2\end{aligned}

频率为名义单位倍率像坐标中每微米的周期数。正失焦相位对应接收器向第二透镜靠近。中继采用近轴焦面近似，位移忽略其微小倍率变化。超过 Nyquist 的频率可折叠，光学带宽不自动等于像素带宽。

归一形状与透过能量

\begin{aligned}\mathrm{OTF}(0)&=1\\\eta&=N_P/N_{\rm clear}\\S_0&=|\sum P|^2/N_P^2\\B&=\min(1,G I/I_0)\end{aligned}

有限网格轴上 Strehl 比较同一孔径有无相位误差，不是通用最大峰比，也不是小误差指数近似。PSF 图另用明确标记的对数显示，参考同孔径无像差峰。原始中央截线与传递曲线始终不含显示增益。

常见难点

MTF 不为零，不保证图像保真

容易误解Strehl 是整条 MTF 的乘数，能看到条纹就说明准确分辨。

正确理解即使轴上点响应峰下降，归一 OTF 在零频仍为一。反差可能翻转，像素也可能混叠成假周期。检查带符号曲线，对照原始输入、光学像与接收截线。相干模式先滤振幅再取模方，非相干 OTF 不能预测其强度传递。

动手实验

01
场景 1：准确对焦 · 保真反差
对比对焦和翻转，再点击带符号传递曲线调节整数周期正弦靶标；Home 恢复默认周期数。
应该观察到： 窄带光源也可以空间非相干。单色不意味着不同物点互相相干。
02
场景 2：失焦 · 明暗翻转
在实体孔径视图改变数值孔径及中心遮挡，结合失焦与像散，对比水平和竖直带符号曲线。
应该观察到： 瞳在有限网格采样，点响应与像为周期函数。这是原创合成靶标的正向模拟，不是实测图像或重建。
03
场景 3：像素 · 错误条纹周期
选混叠并扩大像素，对照实际采样记录与采样前光学像，再切换相干振幅成像。
应该观察到： 中心遮挡降低非相干通光率；相干轴向照明中还会移除直流场，因此均匀靶标可能变暗。