光学 064 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

成像传递函数 Lab

透镜会让条纹明暗互换吗，像素又会凭空造出别的条纹周期吗？ 两样都会发生。离焦时，光学传递函数在某些频率上变成负值，这些频率的条纹就明暗颠倒；MTF 只取它的大小，看不出这次翻转。像素对条纹来说排得太稀，采样就会把条纹混叠成一个并不存在的更长周期。

从瞳面一路追到像面，观察反差翻转和采样造成的假周期。PSF、带符号的 OTF、MTF 和接收像素都来自同一套计算。

非相干光学截止／接收 Nyquist

\nu_c^{\rm inc},\nu_N

$0.50$

轴上 Strehl／孔径通光率

S_0,\eta_{\rm pupil}

$50\%$

带符号非相干传递／其模

\Re\mathrm{OTF},\mathrm{MTF}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

成像传递函数 Lab

空气中有效数值孔径（改变实体孔径）

\mathrm{NA}

0.10

单色波长

\lambda

550\,\mathrm{nm}

边缘至中心失焦波数（不是 RMS）

D

0

正交像散波数系数

A

0

中心遮挡半径／孔径半径

\epsilon

0

相干模式（名称见下方按钮）

c

0

靶标编号（名称见下方按钮）

o

0

视场内整数周期数（条纹／靶标条形）

k

24

像素倍增编号（每级加倍）

b

0

固定线性显示增益（不改变原始数据）

G

1

透镜可以把亮条纹变暗，而周期不变。比较对焦状态和反差翻转预设：带符号的 OTF 变成负值，MTF 仍然为正。再把接收像素调大：看起来更粗的条纹可能是混叠，不是样品的新细节。同一个复数瞳产生点响应、传递曲线和模拟的接收像。在非相干强度卷积和相干振幅滤波之间切换；两种模式下，OTF 曲线都明确标为非相干结果。打开光阑、挡住中心，或者把离焦和像散组合起来，让不同方向的响应分开。计算得到的瞳相位和放大记录放在三维光台之外。

成像按标量、近轴、单色、周期处理。靶标是合成的，瞳相位是编程设定的，不代表实测镜头性能。像素按离散方块取平均，显示增益固定，装置各部分比例不同。OTF 归一化和孔径通光率分开处理。不考虑部分相干、矢量聚焦、噪声和重建，也没有经过专家认证。

物理教程

检验成像传递函数 Lab的物理过程

背景非相干成像里，每个物点在像面上形成一个强度分布，它由复数瞳决定： $\mathrm{PSF}=\frac{|\mathcal F^{-1}P|^2}{\int|\mathcal F^{-1}P|^2\,d^2r}$ 。这个分布按积分归一，遮挡损失的光另外计算。相位误差只是把能量挪到别处，不会把每个频率一律调暗。

为什么值得理解透镜会让条纹明暗互换吗，像素又会凭空造出别的条纹周期吗？

先抓重点

核心问题: 透镜会让条纹明暗互换吗，像素又会凭空造出别的条纹周期吗？
一句话直觉: 两个传递函数都来自同一个点响应： $\mathrm{OTF}=\mathcal F\{\mathrm{PSF}\},\qquad\mathrm{MTF}=|\mathrm{OTF}|$ 。本实验的瞳关于中心反演对称，所以 OTF 是实数。失焦可以让它变成负值，意思是明暗翻转；MTF 取的是模，把这个符号丢掉了。

核心数学模型

带失焦与像散的复数瞳

\begin{aligned}P&=\mathbf1_{\epsilon\le\rho\le1}e^{2\pi i w}\\w&=D\!\left(\rho^2-\frac{1+\epsilon^2}{2}\right)\\&\quad+A(u^2-v^2)\end{aligned}

无量纲瞳坐标等于频率除以相干截止频率。失焦用瞳边缘到中心的波数表示；像散在两个互相垂直的方向上符号相反。理想环形瞳上的平均相位（活塞项）已经减去。控制量设定的是所选波长下的相位，不是固定的玻璃厚度。

非相干成像与相干成像

\begin{aligned}I_{\rm inc}&=\eta\,\mathrm{PSF}*I_{\rm ideal}\\I_{\rm coh}&=\left|\mathcal F^{-1}\{P\mathcal F[\sqrt{I_{\rm ideal}}]\}\right|^2\end{aligned}

两种模型都对同一个靶标成倒像。非相干物点直接相加，没有交叉项；相干物点之间有交叉项。瞳的通光面积比决定非相干通光量，相干能量则取决于实际振幅频谱。原始计算完成后，显示才施加固定的线性增益和裁切。

截止频率、相位符号与传感器采样

\begin{aligned}\nu_c^{\rm coh}&=\mathrm{NA}/\lambda\\\nu_c^{\rm inc}&=2\mathrm{NA}/\lambda\\\nu_N&=1/(2a_{\rm pixel})\\\Delta z&=-2\lambda D/\mathrm{NA}^2\end{aligned}

频率单位是每微米周期数，坐标取名义单位倍率下的像坐标。失焦相位为正，表示传感器离第二透镜更近。中继采用近轴焦面近似，移动传感器时忽略倍率的微小变化。高于 Nyquist 的频率可能折叠到低频；光学系统能通过的频率，像素未必记录得下。

归一化形状与透过能量

\begin{aligned}\mathrm{OTF}(0)&=1\\\eta&=N_P/N_{\rm clear}\\S_0&=|\sum P|^2/N_P^2\\B&=\min(1,G I/I_0)\end{aligned}

轴上 Strehl 比在有限网格上计算，比较的是同一孔径有无相位误差两种情况。它不是一般意义的最大峰值之比，也不是小误差下的指数近似。PSF 图另用一条标明的对数色标，参考值是同一孔径无像差时的峰值。原始中央截线和传递曲线都不含显示增益。

常见难点

MTF 不为零，不保证图像保真

容易误解Strehl 比就是把整条 MTF 按比例压低；只要看得见条纹，就说明分辨对了。

正确理解即使点响应的轴上峰值下降，归一化 OTF 在零频处仍然等于一。反差可能翻转，像素也可能把条纹混叠成假周期。要看带符号的曲线，并对照原始输入、光学像和探测记录三条截线。相干模式先由瞳滤振幅，再取模平方，非相干 OTF 预测不了它的强度传递。

动手实验

01
场景 1：准确对焦 · 保真反差
对比对焦和明暗翻转两个场景。再点击带符号传递曲线，调节正弦靶标的整数周期数；Home 恢复默认周期数。
你会看到： 窄带光源也可以是空间非相干的。光是单色的，并不意味着不同物点之间互相相干。
02
场景 2：失焦 · 明暗翻转
切到实体孔径视图，改变数值孔径和中心遮挡。再把失焦和像散叠加，对比水平与竖直两条带符号曲线。
你会看到： 瞳在有限网格上采样，所以点响应和像都是周期性的。这些图是对本实验自制合成靶标的正向模拟，不是实测图像，也不是重建结果。
03
场景 3：像素 · 错误条纹周期
选混叠场景并把像素调大，对照采样后的记录与采样前的光学像，再切换到相干振幅成像。
你会看到： 中心遮挡降低非相干通光量。在相干轴向照明下，它还挡掉零频场，所以均匀靶标可能整片变暗。