光学 087 · 光纤、结构光与现代波动光学

光子晶体能带

周期介电结构怎样挡住某些频率的光，又在缺陷处把光困住或引导？ 在某些频率范围内，周期结构各处的反射叠加起来，形成 Bragg 反射，波传不过去，这就是带隙；能传过去的波取 Bloch 形式。点缺陷能在带隙频率上把光困住，相当于一个谐振腔；缺陷连成一条线，就成了导光通道。

三维剖切图展示用平面波求解的二维 TM 本征问题。可以查看方晶格能带、倒空间等频线、含点缺陷和线缺陷的超胞、复数场，以及平面波截断检查。

所选归一本征频率

\nu

$0.50$

指定区域电能比例

\eta

$50\%$

相对代数本征残差

r_{\rm eig}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

介质柱无限长且无损，只求一种偏振；平面波基有限截断，缺陷按周期重复。带隙由采样点得到，不是三维完全带隙。不涉及有限高度的薄板和外加驱动的透射，也不对应实测器件。

物理教程

检验光子晶体能带的物理过程

背景光在周期介质中的传播，归结为一个二维波动本征问题： $-\nabla_\perp^2 E_z=(\omega/c)^2\varepsilon_r E_z$ 。Bloch 波是一个周期包络乘上随波矢变化的相位。这里求的是沿无限长均匀介电柱方向的电场，不计算有限高度的光子晶体薄板。

为什么值得理解周期介电结构怎样挡住某些频率的光，又在缺陷处把光困住或引导？

先抓重点

核心问题: 周期介电结构怎样挡住某些频率的光，又在缺陷处把光困住或引导？
一句话直觉: 频率落在采样到的体带隙内，只是第一步。接着要看本征场，以及区域内的电能占比： $\eta_D=\frac{\int_D\varepsilon_r|E_z|^2\,dA}{\int_{\rm cell}\varepsilon_r|E_z|^2\,dA}$ 。缺陷处的局域场来自求出的本征模，不是手画的高斯；这个比例也不是腔的品质因数。

E_z(\mathbf r+\mathbf R)=e^{i\mathbf k\cdot\mathbf R}E_z(\mathbf r),\quad\nu=\frac{\omega a}{2\pi c}=\frac a{\lambda_0}

坐标位于垂直于柱轴 Z 的平面内，时间依赖取负频率指数。相对磁导率和空气介电常数都取一。只求电场沿柱轴的这一种偏振，因此不涉及 TE 带隙，也不涉及全偏振带隙。

|\mathbf q+\mathbf g|^2 e_{\mathbf g}=\nu^2\sum_{\mathbf g'}\varepsilon_{\mathbf g-\mathbf g'}e_{\mathbf g'},\quad\mathbf q=\frac{a\mathbf k}{2\pi}

圆柱的 Fourier 系数由圆面积上的积分得到。正定的介电质量矩阵先用 Cholesky 分解白化，再用实对称 Jacobi 方法对角化。反演对称让 Fourier 矩阵成为实矩阵，但空间中的 Bloch 场仍是复数。体晶格在每个倒空间方向保留七个平面波。

\mathbf R_{\rm point}=(5a,5a),\quad\mathbf R_{\rm line}=(a,5a)

缺一根柱时，缺陷在两个方向上每五个周期重复一次，Bloch 波矢取超胞 Brillouin 区的角点。缺一行时，在横向每五个周期重复一次。程序选取最接近采样体带隙中点的模式；若带隙内有模式，就只在其中挑选。通道上的每个点都独立重复这一选择，不能把它们读成连续跟踪的同一条能带。

\lambda_0=\frac a\nu,\quad r_{\rm eig}=\frac{\|D\mathbf e-\nu^2 B\mathbf e\|}{\sqrt{\|D\mathbf e\|^2+\|\nu^2 B\mathbf e\|^2}}

半径比固定、介电常数无色散时，改变周期不改变归一频率，实际波长则按比例变化。矩阵求解得再准，空间上的近似仍可能很粗。和更高截断比较只能检查一种误差；缺陷的周期副本、倒空间采样和有限的场积分网格，是另外几种误差，要分别考虑。

容易误解画出的晶格里出现亮点，就证明有高品质腔。

正确理解要说这是一个腔，需要一致的算符、带隙内的态、空间上的局域，以及正确的辐射或损耗边界。本实验只求周期无损超胞的本征模，不推断线宽、光源激发或品质因数。

01
场景 1：体 Bloch 能带
从体能带开始。沿边界路径移动波矢，切换能带序号，比较场的正负、电能密度和等频线。
你会看到： 把柱的介电常数设为一。介电反差消失，采样到的第一个带隙闭合。剩下的只是均匀介质里折叠的平面波，这时缺不缺一根柱，在光学上没有区别。
02
场景 2：点缺陷腔
先移除中心柱，再移除一整行。结构控制改变的是介电矩阵本身。看看所选频率、场的局域程度和周期超胞边界。
你会看到： 改变半径，柱子本身和它们的 Fourier 积分都会变。只改周期，整个横截面按比例伸缩，归一化能带不变。
03
场景 3：线缺陷波导
冻结一份复场，改变实际周期或介电几何，再用更高的截断重新求解。代数残差、截断收敛和有限超胞误差要分开看。
你会看到： 默认的点缺陷频率只是近似：基底有限，超胞是周期的。用提高截断按钮检验它。本征值或中心的亮场，都不是实测的共振、透射或孤立腔寿命。