光学 100 · 平面波导里的 Kerr 自陷

非线性光改变自身介质

强光什么时候能把折射率抬高到足以引导自己、不再展宽？ 当光强引起的 Kerr 折射率升高强到能抵消衍射时。光束中心最亮，那里折射率升得最多，光束就给自己写出一条波导，不再展宽，成为空间孤子。在薄的平面波导里光只能横向展开，这种平衡是稳定的；在块状玻璃里它不稳定，光束稍强就会塌缩。

把 100 fs 脉冲送进平面玻璃波导：接近孤子功率时，光束给自己写出波导；克尔效应反号它就散开，光束变宽它就碎裂。

脉冲峰值时的输出宽度（最亮的一条） $\text{—}$

弱光的输出宽度（只有衍射） $\text{—}$

脉冲峰值时光束中心多出的相位 $\text{—}$

输出中心光谱的宽度与输入之比 $\text{—}$

慢速相机累加整个脉冲看到的输出宽度 $\text{—}$

峰值功率与基本孤子功率之比 $\text{—}$

波导长度，以 3.73 mm 的孤子周期计 $\text{—}$

宽光束输出中的亮线条数 $\text{—}$

亮线的平均间距 $\text{—}$

增长最快的波纹周期（平面波理论） $\text{—}$

从计算窗口两侧离开的光 $\text{—}$

计算的脉冲时刻数 $\text{—}$

模型取 Aitchison 等（1991）的平面玻璃波导：620 nm、100 fs 的脉冲，光束宽 22 µm（半高全宽），线性折射率 1.5。很薄的导波层在厚度方向把光束缚住，光束只能横向展开，它的包络满足 Zakharov 和 Shabat（1972）严格求解过的一维非线性 Schrödinger 方程。宽度以 12.5 µm 为单位，即宽 22 µm 的基本孤子的宽度参数；长度以衍射长度 2.38 mm 为单位；孤子周期是 3.73 mm。峰值光强以这个孤子的峰值光强为单位。方程用对称分步 Fourier 方法积分，横向 ±600 µm 取 512 个点，两侧最外 100 µm 是吸收带，步长保证每步的 Kerr 相位变化不超过 0.1 rad。脉冲的每一刻各自穿过波导：把脉冲分成从零到峰值的 24 个瞬时光强，相机图像和输出中心的光谱都由它们合成。输入上加了均方根振幅为 1% 的随机波纹，它在 2 µm 尺度上是平滑的。模型不含：色散、双光子吸收、Raman 散射、自陡峭、Kerr 效应的饱和以及玻璃的响应时间，所以在 1991 年实验已不再变窄的功率上，模型还会继续变窄。场景里横向宽度比长度放大约 17 倍。

物理教程

让光束给自己写出一条波导

背景窄光束一边走一边展宽，而且越窄散得越快。这就是衍射：22 µm 宽的红光在玻璃里走约 5 mm，宽度就翻倍。

为什么值得理解玻璃的折射率在光强的地方会略微升高。所以强光束在自己中心把折射率抬得最高，像一枚只在光存在时才有的透镜。Aitchison 等人把 100 fs 的脉冲送进很薄的平面玻璃波导，光在里面只能横向展开，再用相机看输出端。

先抓重点

核心问题: 光强到多少时，这枚自己造出来的透镜正好抵消衍射？高了、低了又会怎样？
一句话直觉: 衍射和 Kerr 透镜都在衍射长度 $L_D=kw^2$ 上起作用，这里是 2.38 mm。峰值光强接近孤子光强 $I_{\mathrm{s}}$ 时两者平衡，光束宽度不变，这就是空间孤子。脉冲的每一刻光强都不同，所以只有脉冲中间最亮的部分被束缚住，前沿和后沿较弱，照样散开。

核心数学模型

随光变化的折射率

n=n_0+n_2I

Kerr 效应：折射率随光强 $I$ 成正比升高。玻璃的 $n_2>0$ ，强光自聚焦；“反号”设置用的是 $n_2<0$ 。

光束的包络

i\frac{\partial u}{\partial\zeta}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2u}{\partial\xi^2}+\sigma|u|^2u=0

$\zeta=z/L_D$ 是沿波导的距离， $\xi=x/w$ 是横向位置， $w=12.5\,\mu\mathrm{m}$ ； $|u|^2$ 是以 $I_{\mathrm{s}}$ 为单位的光强， $\sigma=\pm1$ 是 $n_2$ 的符号。第二项是衍射，第三项是 Kerr 透镜（Zakharov 和 Shabat 1972，式 3）。

基本孤子

\begin{gathered}u=\mathrm{sech}(\xi)\,e^{i\zeta/2}\\z_0=\frac{\pi}{2}L_D=\frac{\pi^2n_0w^2}{\lambda}\end{gathered}

这样的光束永远保持形状。光强是它四倍的光束，每走一个孤子周期 $z_0$ 就回到输入时的形状；22 µm 的光束， $z_0$ 是 3.73 mm（Aitchison 等 1991）。

自相位调制

\begin{gathered}\delta\omega(t)=-\frac{\partial\phi_{\mathrm{NL}}}{\partial t}\\\frac{\Delta\omega_{\mathrm{rms}}}{\Delta\omega_0}=\sqrt{1+\frac{4}{3\sqrt3}\,\phi_{\max}^2}\end{gathered}

脉冲中间最亮，多出的相位 $\phi_{\mathrm{NL}}$ 比两边大，脉冲经过时频率随之偏移。如果 Gaussian 脉冲的相位只跟着光强走，光谱的均方根宽度就按第二行增长；在波导里，光束变形时相位还会另外变化。

会增长的波纹

\begin{gathered}g(\kappa)=|\kappa|\sqrt{I_0-\kappa^2/4}\\\Lambda_{\mathrm{fast}}=\frac{2\pi w}{\sqrt{2I_0}}\end{gathered}

宽光束光强为 $I_0$ （以 $I_{\mathrm{s}}$ 为单位）时，横向波数为 $\kappa$ （以 $1/w$ 为单位）的波纹，每走一个衍射长度放大 $e^{g}$ 倍。增长最快的波纹周期是 $\Lambda_{\mathrm{fast}}$ ， $I_0=1.5$ 时为 45 µm。

常见难点

玻璃里没有透镜

容易误解波导里本来就有透镜或折射率通道，把光束束缚住。

正确理解玻璃在横向是均匀的。折射率通道只在光强的地方、只在光强的时候存在，所以每个脉冲较弱的前沿和后沿照样散开。

功率高不等于更稳

容易误解超过孤子光强后，光束只会更窄并保持下去。

正确理解平面波导里，多出的功率让光束沿途忽宽忽窄，宽光束则碎成好几条。在块状玻璃里光能朝两个方向展开，同样的平衡是不稳定的，光束会塌缩（Aitchison 等 1991）。

光谱展宽不需要新的光源

容易误解自相位调制从别处添加了其他颜色的光。

正确理解脉冲只是在时间上改变了自己的相位。随时间变化的相位就是频率偏移，同样的光因此分布到了更宽的频带上。

动手实验

01
看光束保持宽度
保持默认预设“光写出自己的波导”，在俯视图里看脉冲经过。
你会看到： 脉冲峰值时，光走成一条直线，穿过 10 mm 玻璃后宽 24 µm，和 22 µm 的输入差不多。只有衍射的弱光出来时宽 86 µm。脉冲的前沿和后沿照样散开。
02
对比相机和峰值
看场景下方的“输出端的横向光强”。
你会看到： 相机的虚线宽 32 µm，比脉冲峰值时的 24 µm 宽，因为相机累加的是整个脉冲。1991 年的实验记录的也是整个脉冲，相机图像最窄时，功率约为孤子功率的 1.5 倍。
03
把功率调低
向下拖动衰减轮，或加载“功率不够：光束照样散开”。
你会看到： 光强只有孤子的四分之一时，光束散到 71 µm，比弱光的 86 µm 窄不了多少。
04
四倍光强
加载“四倍光强：光束忽宽忽窄”，再展开“沿波导的宽度与中心相位”。
你会看到： 光束先缩到约 5 µm，又宽回 16 µm，每 3.6 mm 重复一次，接近 3.73 mm 的孤子周期。中心多出 29 rad 的相位，光谱宽了 32 倍。
05
让克尔效应反号
加载“克尔效应反号：光束自散焦”。
你会看到： 这时亮处折射率降低。光强是孤子的三倍时，光束散到 210 µm，远比弱光的 86 µm 宽。
06
让宽光束碎开
加载“宽光束碎成细丝”，看“出射光的角谱”。
你会看到： 300 µm 的光束碎成四条亮线，间距约 59 µm。输出在 7 mrad 附近多出两侧的角度；按平面波理论，增长最快的波纹是 45 µm、9 mrad。

非线性光改变自身介质

让光束给自己写出一条波导

核心数学模型

随光变化的折射率

光束的包络

基本孤子

自相位调制

会增长的波纹

常见难点

玻璃里没有透镜

功率高不等于更稳

光谱展宽不需要新的光源

动手实验

看光束保持宽度

对比相机和峰值

把功率调低

四倍光强

让克尔效应反号

让宽光束碎开

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