Fourier series · 旋转矢量

Fourier Epicycles

为什么一组匀速旋转，能够重建几乎任意周期信号？ 每个 Fourier 项都是一根匀速旋转的箭头。又大又慢的箭头画出整体轮廓，又小又快的补上尖锐细节。把足够多的箭头首尾相接，最末端描出的轨迹几乎可以是任何周期信号。

Fourier series 的每一项是一个旋转矢量。把这些矢量首尾相接，链条末端就描出一条曲线。多加几项，原本歪歪扭扭的近似就会贴住目标波形：方波、锯齿波、三角波。

目标波形Square

项数

N

基频

\omega_0

1.00 rad/s

合成值+0.00

先抓重点

f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]

每个 $n$ 对应一个独立的谐波，它的系数决定振幅和相位。

f_N(t)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=1,3,5}^{N}\frac{\sin(n\omega_0t)}{n}

方波只含奇次谐波，振幅按 $1/n$ 衰减。

容易误解只要 N 足够大，跳变处也会处处平滑地收敛。

正确理解项数增加时，跳变附近的 Gibbs 过冲变窄，但它的相对高度不会随之降为零。

容易误解转得越快的圆一定越大。

正确理解转速由谐波编号决定，半径由 Fourier 系数决定。