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Sandbox Physics

Fourier series · 旋转矢量

Fourier Epicycles

Fourier series 的每一项都是一个旋转矢量；把它们首尾相接，最末端的尖就描出一条曲线。多加几项，原本晃动的近似就会咬合到目标上——方波、锯齿波、阶跃。

交互模型Fourier Epicycles
目标波形Square
项数 NN6
基频 ω0\omega_01.00 rad/s
合成值+0.00

物理教程

Fourier 级数：把复杂波形拆成频率

背景任何满足适当条件的周期信号，都能表示为不同整数倍频率的正弦和余弦之和。周转圆是复平面中的同一分解。

为什么值得理解频谱让声音、图像、振动和通信信号从“形状问题”变成“每个频率占多少”的问题。

先抓重点

核心问题
为什么一串只做匀速圆周运动的矢量，能画出带尖角的方波？
一句话直觉
大而慢的分量决定整体轮廓，小而快的分量补足边缘细节。

核心数学模型

Fourier 级数

f(t)=a02+∑n=1∞[ancos⁡(nω0t)+bnsin⁡(nω0t)]f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]

每个 nn 是一个独立谐波，系数决定振幅和相位。

方波的奇次谐波

fN(t)=4π∑n=1,3,5Nsin⁡(nω0t)nf_N(t)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=1,3,5}^{N}\frac{\sin(n\omega_0t)}{n}

方波只含奇次谐波，振幅按 1/n1/n 衰减。

常见难点

更多项不消除所有过冲

容易误解N 足够大时，跳变处会处处平滑收敛。

正确理解Gibbs 过冲的宽度缩小，但相对高度不会简单降为零。

频率与圆的大小是两回事

容易误解转得越快的圆一定越大。

正确理解转速由谐波编号决定，半径由 Fourier 系数决定。

动手实验

  1. 01

    只保留基频

    选择方波并把 N 调到 1。

    应该观察到： 输出只是平滑正弦波。
  2. 02

    逐步补高频

    缓慢增加 N。

    应该观察到： 平顶和陡边逐渐形成，小圆负责细节。
  3. 03

    比较系数衰减

    切换方波、锯齿波和三角波。

    应该观察到： 越平滑的波形，高频分量衰减越快。