光学 007 · 光线世界、界面与自然光学

费马驻值光路剧场

为什么一条关于传播时间的规则，能同时解释反射、折射和弯曲的光线？ 因为真实光线的路径有个特点：端点固定，把路径稍微挪一挪，传播时间在一阶上不变。这个条件用在镜面上，得到入射角等于反射角；用在界面上，得到 Snell 定律；折射率连续变化时，得到弯曲的光线。

光源和探测器固定，拖动一条试探路径，让它经过不透明镜面、两种折射率的界面或连续的抛物型 GRIN 介质。真实光线、试探变分、光程地形和定律残差都来自同一个模型。

候选路径到达时间差

\Delta t

$0.50$

光程第一变分

\left|\delta\mathrm{OPL}/\delta a\right|

$50\%$

物理定律残差

\varepsilon_{\mathrm{law}}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

物理教程

检验费马驻值光路剧场的物理过程

背景费马原理比较的是端点相同、彼此相邻的路径。真实光线让光程泛函取驻值： $\delta\mathrm{OPL}=\delta\!\int_A^B n(\mathbf r)\,\mathrm ds=0$ 。“驻值”这个词很要紧：本实验中的直接光路是局部极小，但别的光学系统里也有驻值极大或鞍点光路。所以这条原理并不是说光总走几何距离最短的路。

为什么值得理解为什么一条关于传播时间的规则，能同时解释反射、折射和弯曲的光线？

先抓重点

核心问题: 为什么一条关于传播时间的规则，能同时解释反射、折射和弯曲的光线？
一句话直觉: 洋红色候选路径端点相同，只靠一个参数变化。在金色真实光路处， $\left.\frac{\partial\mathrm{OPL}(a)}{\partial a}\right|_{a=0}=0$ 。所以悬浮的光程地形、带符号的到达时间差和导数，指向的是同一条驻值曲线。

核心数学模型

固定端点的光程

\mathrm{OPL}[\mathbf r]=\int_A^B n(\mathbf r)\,\mathrm ds,\qquad \delta\mathrm{OPL}=0

比较路径必须保持两个端点不变。通往别的探测器的路径即使更短，也说明不了费马驻值条件。

界面交点的驻值条件

n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2

让交点沿界面滑动、在真实交点处取驻值，切向光学动量就保持不变。反射时两段折射率相同，这个条件就变成入射角等于反射角。

连续折射率中的光线方程

\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\!\left(n\frac{\mathrm d\mathbf r}{\mathrm ds}\right)=\nabla n

GRIN 光路由这个方程积分得到，按边值问题求解。另有一项数值检查单独监测轴向光学动量，它是守恒量。

常见难点

把驻值光程当成最短距离

容易误解光只走几何上最短的直线，折射率和相邻路径都无关紧要。

正确理解光程把每一小段路径都乘上当地的折射率。端点固定时，让这个加权长度取驻值，就能得到反射、折射和连续弯曲。

动手实验

01
场景 1：镜面等角驻值
在镜面场景，把洋红交点拖到金色交点上。比较镜面两侧的角度，再在到达时间地形上找到驻值点。
你会看到： 只有金色光路在等角交点处真正转折。虚线比较路径不是反射光，上面也没有光子脉冲。
02
场景 2：Snell 界面驻值
切换到双介质场景，移动目标，看驻值交点跟着移动；每次变分扫描时，光源和目标都固定不动。
你会看到： 驻值交点一般不在直线穿过界面的位置，因为较慢的介质在光程里权重更大。
03
场景 3：GRIN 弯曲测地线
进入 GRIN 场景，绕着折射率等值线转动视角。再把候选形变调回零，同时看第一变分和动量残差。
你会看到： GRIN 光线连续弯向折射率更高的一侧。发射方向稍有不同的真实光线会落到别处，而每条洋红变分路径都仍然落在选定目标上。