光学 007 · 光线世界、界面与自然光学

费马驻值光路剧场

电影化变分剧场固定光源与探测器，让可拖动候选路径依次穿过不透明镜面、双折射率界面和连续抛物型 GRIN 场。真实光线、候选变分、光程地形与定律残差全部来自同一个模型。

候选路径到达时间差

\Delta t

$0.50$

光程第一变分

\left|\delta\mathrm{OPL}/\delta a\right|

$50\%$

物理定律残差

\varepsilon_{\mathrm{law}}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

物理教程

审查费马驻值光路剧场的物理过程

背景费马光学比较的是端点相同的相邻曲线。真实光线使光程泛函满足驻值条件： $\delta\mathrm{OPL}=\delta\!\int_A^B n(\mathbf r)\,\mathrm ds=0$ 。“驻值”才是精确表述：本实验选择的直接光路分支是局部极小，但其他光学系统也可能出现驻值极大或鞍点光路；该原理不是普遍的最短几何距离规则。

为什么值得理解为什么传播时间的驻值路径会同时给出反射、折射和弯曲光线？

先抓重点

核心问题: 为什么传播时间的驻值路径会同时给出反射、折射和弯曲光线？
一句话直觉: 洋红路径族使用一个固定端点变分参数。在金色真实光路处， $\left.\frac{\partial\mathrm{OPL}(a)}{\partial a}\right|_{a=0}=0$ 。因此，悬浮光程地形、带符号到达时间差与导数会共同锁定同一条驻值曲线，而不是三套互不相关的动画。

核心数学模型

固定端点光程泛函

\mathrm{OPL}[\mathbf r]=\int_A^B n(\mathbf r)\,\mathrm ds,\qquad \delta\mathrm{OPL}=0

比较曲线必须保持两个端点不变。通向另一个探测器的更短路径不能检验费马驻值条件。

界面横截条件

n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2

对界面交点取驻值会保持切向光学动量。反射场景两段折射率相同时，该条件化为入射角等于反射角。

连续折射率光线方程

\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\!\left(n\frac{\mathrm d\mathbf r}{\mathrm ds}\right)=\nabla n

GRIN 光路由该方程积分，并作为边值问题求解；数值检查还会独立监测守恒的轴向光学动量。

常见难点

把驻值光程误写成最短距离

容易误解光只会选择几何距离最短的直线，因此折射率和相邻路径只是次要细节。

正确理解光程泛函会用局部折射率加权每一段路径。反射、折射与连续弯曲都来自这一加权路径在固定端点下的驻值条件。

动手实验

01
场景 1：镜面等角驻值
在镜面场景拖动洋红交点，直到它与金色交点重合；同时比较镜面两侧角度，并在到达时间地形上定位驻值点。
应该观察到： 只有金色镜面光路在等角交点处发生真实转折；虚线比较路径不是反射光，也不会携带光子脉冲。
02
场景 2：Snell 界面驻值
切换到双介质场景，移动目标并验证驻值交点随之改变；在每次变分扫描过程中，光源和目标必须保持固定。
应该观察到： 界面驻值点通常偏离几何直线交点，因为较慢介质改变了不同路径段的光程权重。
03
场景 3：GRIN 弯曲测地线
进入 GRIN 场景，绕视折射率等值线，再把候选形变归零，同时观察第一变分和动量残差。
应该观察到： GRIN 解会连续弯向较高折射率区域。相邻真实发射光线落到其他位置，而每条洋红变分始终保留选定目标。