光学 004 · 光线世界、界面与自然光学

曲面镜观测站

镜面形状怎样决定焦点位置，又怎样影响轴外成像？ 镜面中心的曲率决定近轴光线聚在哪里。抛物面能把所有平行于光轴的光线汇到同一点；球面镜边缘的光线会聚得更靠近镜面，焦斑就散开了。轴外成像好不好，要看镜面具体是哪种二次曲面。

带标注的圆锥面镜剖视图把顶点曲率半径和有效孔径分开。圆锥面网格、到曲率中心的标尺、焦点标记、平行光源和探测器采样，让每次调节都在空间里看得见。

平均光轴交点

\bar x_f

$0.50$

纵向焦差

\sigma_x

$50\%$

曲率半径对应焦点

f_{\mathrm{paraxial}}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

物理教程

检验曲面镜观测站的物理过程

背景镜面是一个旋转圆锥面，由矢高定义，也就是离轴不同距离处曲面凹下去多少。顶点曲率半径和有效孔径各自独立设定，曲面形状为 $z(r)=\frac{r^2}{R\left(1+\sqrt{1-(1+K)r^2/R^2}\right)}$ 。每条光线按局部斜率给出的法线反射。这样，精确的几何追迹和傍轴薄镜参考就分开了。

为什么值得理解镜面形状怎样决定焦点位置，又怎样影响轴外成像？

先抓重点

核心问题: 镜面形状怎样决定焦点位置，又怎样影响轴外成像？
一句话直觉: 抛物面把平行于轴的光线汇聚到同一个焦点。球面上，光线在哪里穿过光轴，取决于它打在离轴多远的地方。所以探测器报告光斑宽度 $\sigma_x$ ；只给一个名义焦距，会掩盖边缘光线的弥散。

核心数学模型

圆锥面矢高

z(r)=\frac{r^2}{R\left(1+\sqrt{1-(1+K)r^2/R^2}\right)}

顶点曲率半径和圆锥常数决定画出来的曲面，以及曲面上每一点的斜率。

球面镜的傍轴焦距

f_{\mathrm{paraxial}}=\frac{R}{2}

这个值只适用于小孔径球面镜。边缘光线和轴外光线仍然要逐条追迹。

常见难点

对每条光线直接套用镜公式

容易误解球面镜反射的光线全都在傍轴焦距处相交。

正确理解镜公式是傍轴近似。按真实曲面法线反射每条光线，就会看到边缘光线交在别处，这就是纵向球差。

动手实验

01
场景 1：球面共轭
保持有效孔径不变，减小顶点曲率半径，看同样口径的镜面明显变深。
你会看到： 孔径不变时，曲率半径越小，矢高越大。球面上的边缘光线交轴的位置也比傍轴焦点更靠近镜面。
02
场景 2：抛物面聚焦
保持顶点曲率半径不变，切换到抛物面场景。
你会看到： 平行于轴的光线汇聚到抛物面焦点，偏差只在数值精度量级。
03
场景 3：轴外圆锥面光斑
进入轴外圆锥面场景，检查三维探测器光斑。
你会看到： 轴外入射的光在探测器上散成一片光斑，而不是汇成一个焦点。