光学 010 · 光线世界、界面与自然光学

N-BK7 棱镜光谱仪观测站

玻璃棱镜要怎样摆，才能从每种颜色落下的位置读出波长？ 先把一条已知谱线调到最小偏向，这时它的光对称地穿过棱镜；然后棱镜不再转动。其他波长各自落在探测器的固定位置上，位置由玻璃折射率随波长的变化决定，看位置就能读出波长。

在测角仪上，形状随顶角变化的 N-BK7 棱镜成了一台可标定的光谱仪。白光同时穿过两个固定的面，偏向角扫描找到对称的驻值点，已知的原子谱线先标定探测器，再测出未知波长。

主要光谱解

\mathcal S_1

$0.50$

角度或探测器结果

\mathcal S_2

$50\%$

几何或反演检验

\varepsilon_{\mathrm{spec}}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

物理教程

检验N-BK7 棱镜光谱仪观测站的物理过程

背景棱镜光谱仪的出发点是材料色散，也就是折射率随波长变化。SCHOTT N-BK7 玻璃的折射率按公开的 Sellmeier 关系计算： $n^2(\lambda)=1+\sum_{j=1}^{3}\frac{B_j\lambda^2}{\lambda^2-C_j}$ 。接着在同一个固定三棱镜的入射面和出射面上分别用 Snell 定律求折射，再找出每条出射光线打在固定探测器平面上的位置。

为什么值得理解玻璃棱镜要怎样摆，才能从每种颜色落下的位置读出波长？

先抓重点

核心问题: 玻璃棱镜要怎样摆，才能从每种颜色落下的位置读出波长？
一句话直觉: 最小偏向是一种对称的驻值状态，只对一个波长成立： $r_1=r_2=\frac{A}{2},\qquad i=e$ 。把参考谱线调到这个状态，棱镜的姿态就定下来了。其他波长都穿过同一个姿态的棱镜，不会给每种颜色各自偷偷转一下棱镜。

核心数学模型

N-BK7 的三项 Sellmeier 色散

n^2(\lambda)=1+\sum_{j=1}^{3}\frac{B_j\lambda^2}{\lambda^2-C_j}

波长以微米为单位代入，系数用这种玻璃公开的数值。颜色在角度上的展开，来自同一关系的导数，画面没有另外拟合一条颜色间距曲线。

最小偏向时的对称光路

n(\lambda)=\frac{\sin\!\left[(A+\delta_{\min})/2\right]}{\sin(A/2)},\qquad \delta_{\min}=2\arcsin\!\left[n(\lambda)\sin\!\left(\frac{A}{2}\right)\right]-A

在驻值点，棱镜内部的光线把顶角平分。画面里的表面法线、入射段、内部段、出射段和偏向扫描，全都来自这一个解。

光线与探测器平面的交点

t=\frac{(\mathbf c-\mathbf x_2)\cdot\hat{\mathbf n}_d}{\hat{\mathbf k}_{\mathrm{out}}\cdot\hat{\mathbf n}_d},\qquad x_d=\bigl(\mathbf x_2+t\hat{\mathbf k}_{\mathrm{out}}-\mathbf c\bigr)\cdot\hat{\mathbf s}_d

参考线锁定后，探测器的中心、法向和切向都固定不动。测到的位置只由出射点和出射方向决定；这个映射是单调的，所以可以反过来求出波长。

常见难点

让每种颜色都各自处于最小偏向

容易误解画白光光谱时，可以给每个波长单独算最小偏向角，再让所有彩色光线都从棱镜中心射出。

正确理解这样做等于每种颜色都偷偷转一次棱镜，还把两次折射都丢掉了。这里只用一条参考线定姿态。所有颜色从同一点射入，各自到达算出的出射点，再折射一次，落在同一个探测器上。

动手实验

01
场景 1：白光色散
在白光场景，把顶角从最小扫到最大。先确认三棱镜本身确实在变形，再沿紫光和红光一路追踪，穿过两个固定表面，到达探测器平面。
你会看到： 顶角越大，棱镜底边越宽，偏向角和颜色在探测器上的间距都变大。所选标记在同一个传感器上移动，传感器本身不动。
02
场景 2：最小偏向锁定
进入最小偏向场景，改变波长。对照虚线表面法线、相等的两个内部角、入射角与出射角相等的读数，以及完整偏向扫描底部的标记。
你会看到： 最小偏向时，两个内部折射角在数值精度内相等，偏向角随入射角变化的曲线在这里取驻值最低点。偏离这个姿态，两个角就不再相等，但两个表面仍各自遵守 Snell 定律。
03
场景 3：线光谱标定
在标定场景，把未知谱线移过参考锚点，再移到锚点之外。同时读探测器坐标和反演出的波长，用反演残差判断精度，不要只看颜色。
你会看到： 波长越短，N-BK7 折射率越大，偏折越多。汞的两条黄线挨得很近，在探测器上也挨得很近；氢的红线和蓝线隔得远，标定跨度更大。