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Sandbox Physics

光学 012 · 隔着分层空气看船和落日

蜃景与绿闪观测站

冷热不同的空气层，怎么会让远处景物下沉、抬高，甚至出现好几个像？ 温度改变空气密度，折射率也跟着变，光线总往更冷更密、折射率更高的一侧弯。热路面上方贴地的空气最热，光线向上弯，远处景物往下沉，路上像有一摊水映着天空，这是下现蜃景。贴地空气更冷时，光线向下弯，远处景物被抬高。温度分好几层，就会叠出好几个像。

隔着海面上的冷空气层看 20 km 外的船：光线被弯回海面，船被抬高、叠成几层、上下颠倒；同一层空气还会拉长日落时的绿闪。

交互模型蜃景与绿闪观测站
船的像（模拟）—\text{—}
船的视高度：这层空气 / 标准大气—\text{—}
水平光线的最强弯曲—\text{—}
红边落下时绿闪的高度—\text{—}
最强弯曲所在高度—\text{—}
绿边落下前比红边多沉的角度—\text{—}
消失线的视高度（580 nm）—\text{—}
150 m 以下最陡的温度梯度—\text{—}
相机高度处让水平光线贴海走的梯度—\text{—}
追踪光线上 Bouguer 不变量的最大相对漂移—\text{—}
这次记录追踪的光线数—\text{—}

物理教程

看海上的船被抬高、叠起、倒过来

背景光在密的空气里比在稀的空气里走得稍慢。冷空气比暖空气密；无风的海面上，往上走几米，气温就可能差好几度。

为什么值得理解远处船上的光穿过这样的空气，不走直线，而是往更密的空气那边弯。航海的人很早就记下过倒挂在天上的船、从地平线后面升起来的海岸，以及日落时的一抹绿光。2003 年，van der Werf、Können 和 Lehn 让光线穿过这类空气层逐条追踪，同时解释了蜃景和绿闪。

先抓重点

核心问题
岸上的相机对着 20 km 外的一艘船。几米厚的一层空气，怎么会让船出现好几个像，有的还是倒的？
一句话直觉
把相机发出的每条光线追到船所在的竖直平面，记下它落到的高度 zz，再对它离开相机时的仰角 β\beta 作图，就是传递特性（Lehn 1983）。普通空气里，zz 随 β\beta 一路上升，船看起来正常。逆温层把光线弯得比海面弯曲得还厉害时，这条曲线就会折回来：zz 上升的每一段是一个正像，下降的每一段是一个倒像。

核心数学模型

空气的折射率

n−1=A(λ) PTn-1=A(\lambda)\,\frac{P}{T}

气压 PP 以百帕计，温度 TT 以开尔文计。van der Werf 等（2003）给出 580 nm 的 A=7.87×10−5 K/hPaA=7.87\times10^{-5}\,\mathrm{K/hPa}，520 nm 大 0.4%，650 nm 小 0.3%。海平面上 n−1n-1 约为 3×10−43\times10^{-4}，冷空气比暖空气大。

标准大气上加一层逆温层

T(h)=TUS(h)−ΔT+ΔT1+e−(h−hc)/aT(h)=T_{\mathrm{US}}(h)-\Delta T+\frac{\Delta T}{1+e^{-(h-h_{\mathrm{c}})/a}}

1976 年美国标准大气每升高 1 km 降温 6.5 K。逆温层在高度 hch_{\mathrm{c}} 附近加上一个温差 ΔT\Delta T，其中 90% 落在厚 6a6a 的一层里（van der Werf 等 2003，式 7）。温差为正，冷空气压在暖空气下面；温差为负，贴近地表的是热空气。

绕着地球追一条光线

dhdψ=(R+h)tan⁡βdβdψ=1+R+hn dndh\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}\psi}&=(R+h)\tan\beta\\\frac{\mathrm{d}\beta}{\mathrm{d}\psi}&=1+\frac{R+h}{n}\,\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}h}\end{aligned}

光线以高出当地水平面的仰角 β\beta 爬升，同时绕地心转过角度 ψ\psi，R=6371 kmR=6371\,\mathrm{km}（van der Werf 等 2003，式 4、式 5）。两式合起来保证 Bouguer 不变量 n (R+h)cos⁡βn\,(R+h)\cos\beta 守恒；追踪出的光线上，它的相对变化小于 10−810^{-8}。

逆温层什么时候困住光

k=−Rn dndhk>1  ⟺  dTdh>T2A P R−B\begin{gathered}k=-\frac{R}{n}\,\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}h}\\k>1\iff\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}h}>\frac{T^2}{A\,P\,R}-B\end{gathered}

弯曲系数 kk 是水平光线的曲率与地球曲率之比；15 °C 的标准大气里 k≈0.17k\approx0.17。k>1k>1 的地方，水平光线比海面弯得还快，就被困住了。这需要每升高 1 m 升温约 0.11 K（van der Werf 等 2003，式 12）。气温下降得比 B=0.034 K/mB=0.034\,\mathrm{K/m} 还快时，k<0k<0，光线向上弯，就像在热路面上方。

绿闪有多高

Δβg=∫1 ⁣[αg(β)≤min⁡αr]dβ\Delta\beta_{\mathrm{g}}=\int\mathbf{1}\!\left[\alpha_{\mathrm{g}}(\beta)\le\min\alpha_{\mathrm{r}}\right]\mathrm{d}\beta

每个视高度 β\beta 对应光线离开大气时的真高度 α\alpha。太阳上缘一沉到红光能来自的最低真高度以下，红色就没了；绿光弯得稍多，仍能从 Δβg\Delta\beta_{\mathrm{g}} 这段视高度射来。标准大气预设里这段只有 14 角秒；在差一点就困住光线的逆温层旁边，转换曲线几乎是平的，把它拉长十倍以上。

常见难点

蜃景不是倒影

容易误解倒像是船在海面上或空气层上的倒影。

正确理解没有任何界面在反射光。默认预设里，倒像挂在船的上方，是光线平滑地穿过逆温层、半路交叉形成的；传递特性那张图标出了交叉的位置。

暖空气不一定把东西抬高

容易误解暖空气会让远处的东西看起来更高。

正确理解光线往更冷、更密的空气那边弯。地表的热空气让光线向上弯，景物下沉，下方出现倒像；海面的冷空气让光线向下弯，把远处景物抬进视野。

绿闪不在眼睛里

容易误解绿闪是看久了红色落日后的残像。

正确理解空气对绿光的弯折比红光稍强，太阳的绿色像略高一点，最后才落下。这个模拟里根本没有眼睛，绿色照样比红色留得久；接近困住光线的逆温层把它拉长到肉眼看得见。

动手实验

  1. 01

    看船叠起又倒过来

    保持默认预设“海面冷空气：船叠起又倒立”，看场景下方的相机画面。

    你会看到： 相机拍到货船的三个像，中间那个是倒的，三个像一共高 16.1 角分。没有逆温层时，船只有 2.85 角分高。
  2. 02

    读折回的曲线

    看“每条光线照到船上的高度”那张图，再上下拖动相机。

    你会看到： 曲线先升、再降、又升；下降的那段（洋红色）就是倒像。在 25 m 高的逆温层处，水平光线的弯曲是地球曲率的 4.9 倍。移动相机会改变哪些光线交叉，像随之变大、变小、合并。
  3. 03

    把地面晒热

    载入“地表炙热：下方出现倒像”。

    你会看到： 最下面一米的热空气让光线向上弯。船底下 5.8 m 看不见了，其余部分在下面倒挂出一个像，就像热路面上映出的天空。
  4. 04

    让船被抬高

    载入“平缓暖层：船被抬高”。

    你会看到： 温差分布在很多米高的范围里，曲线没有折回，只有一个正像，但它被拉高到 5.24 角分，原本只有 2.95 角分。
  5. 05

    让藏起来的船出现

    载入“地平线外的船重新出现”。

    你会看到： 在标准大气里，30 km 外的船藏在海面的弧度后面。14 m 高处一个陡的温差把光线困在下面，相机看到船上 3.6 到 11.2 m 那一段的三个细长的像，其中两个是倒的。
  6. 06

    把绿闪拉长

    载入“临界逆温层：高高的绿闪”，再载入“标准大气：没有蜃景”，对比日落画面。

    你会看到： 温差离困住水平光线的 3.64 K 只差一点时，红边落下的那一刻，太阳的绿边仍占着 162 角秒高的一段天空。标准大气里，绿边只有 14 角秒高。

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