光学 028 · 成像、仪器与视觉系统

变形宽银幕与柱面透镜

三维变形光学台展开柱轴平行 Kepler 柱面镜对的两个正交子午面。Gaussian 截面环穿过内部线束腰，转化为椭圆准直瞳，并驱动倒数关系的角向网格压缩与另行标注的几何散景足迹。

线束腰或映射轴比

z_w, 2w_w, S_p

$0.50$

正交尺度或角向压缩

\ell_{\mathrm{line}}, A_\theta

$50\%$

矩阵残差

C_x, \Delta_{\det}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

物理教程

审查变形宽银幕与柱面透镜的物理过程

背景柱面透镜只在一个子午面具有光焦度，在正交子午面没有光焦度。本实验把两片柱轴平行的正柱面透镜放在无焦间距上，使有光焦度轴满足传输关系： $\mathbf M_x=\mathbf L(f_2)\mathbf P(f_1+f_2)\mathbf L(f_1)=\begin{pmatrix}-f_2/f_1&f_1+f_2\\0&-f_1/f_2\end{pmatrix}$ 。左下元素为零就是画面要检验的承诺：准直入射光在截面改变后仍以准直光离开系统。

为什么值得理解互相正交的光焦度怎样只重塑一个图像轴而不聚焦另一个轴？

先抓重点

核心问题: 互相正交的光焦度怎样只重塑一个图像轴而不聚焦另一个轴？
一句话直觉: 镜对不能独立增大瞳宽与视场角；其一级近轴尺度互为倒数： $S_p=\left|\frac{f_2}{f_1}\right|,\qquad A_\theta=\left|\frac{f_1}{f_2}\right|,\qquad S_pA_\theta=1$ 。这一倒数关系是变形压缩与展开的定量核心，而镜对内部有光焦度轴的束腰解释了激光展线。

核心数学模型

有光焦度与无光焦度子午面

\mathbf L_x(f)=\begin{pmatrix}1&0\\-1/f&1\end{pmatrix},\qquad \mathbf L_y=\mathbf I

青色光线族接受薄透镜角度改变；金色光线族穿过同一玻璃，却不获得一级光焦度。真实面形处方还会加入厚度与像差项，本模型不声称求解这些内容。

无焦柱面镜对

d=f_1+f_2,\qquad C_x=0,\qquad \det\mathbf M_x=1

第一片透镜使每条准直边缘光线经过内部线焦；第二片透镜位于焦距之和处，消除出射光在有光焦度轴上的角度。单位行列式是无损近轴相空间检验。

Gaussian 线束腰正则化

q_{\mathrm{out}}=\frac{Aq_{\mathrm{in}}+B}{Cq_{\mathrm{in}}+D},\qquad \frac{1}{q}=\frac{1}{R}-\mathrm i\frac{\lambda}{\pi w^2}

几何光线会在有光焦度轴上收缩到零宽。复光束参数把该奇点替换成有限的基模 Gaussian 束腰，而无光焦度轴保持宽展，因此得到真实线焦，而不是无限明亮的数学对象。

几何椭圆散景

\mathcal A_{\mathrm{bokeh}}=\max\!\left(S_p,S_p^{-1}\right)

在刻意离焦的几何极限下，模糊足迹继承映射后瞳的轴比。它不是衍射点扩散函数，也不包含像差、裁切、镀膜或电影眩光拉丝。

常见难点

把所有椭圆光斑都叫作变形散景

容易误解电影画面中任何横向椭圆或拉丝都能直接测出镜头的压缩比。

正确理解映射后的离焦足迹可以跟随瞳轴比，但眩光拉丝还取决于反射、镀膜、光阑、裁切、像差与传感器响应。本 Lab 只显示理想一级瞳继承，并明确把它与衍射 PSF 分开。

动手实验

01
场景 1：柱面线焦
从柱面线焦开始。改变第一焦距，观察青色有光焦度子午面光线移动束腰，而金色正交尺度保持宽展；同时确认第二片透镜始终位于两焦距之和的位置。
应该观察到： 只有青色子午面在每片柱面透镜处改变斜率；金色光线穿过两片元件时没有一级角度改变，因此内部焦点是一条线而不是一个点。
02
场景 2：变形压缩
切换到变形压缩。比较圆形输入网格、椭圆出瞳截面环与被压缩的角向网格；反转两焦距比例，验证扩展与压缩交换角色。
应该观察到： 增大第二与第一焦距之比会沿有光焦度轴拓宽准直出瞳，同时以严格倒数比例缩窄对应视场角。
03
场景 3：椭圆散景与激光线
进入椭圆散景与激光线。比较物理上很窄的有光焦度轴 Gaussian 束腰与较长的无光焦度轴线段，再检查单独标注的几何散景卡是否服从同一瞳比例。
应该观察到： 为保证可读性，渲染玻璃曲率会随焦距变化，但它仍只是理想薄透镜光焦度的显示表示。当有光焦度轴的边缘光线角度不再很小时，模型会首先到达近似边界。