光学 028 · 成像、仪器与视觉系统

变形宽银幕与柱面透镜

怎样用透镜只在一个方向上拉宽或压窄图像？ 柱面透镜只在一个方向上有光焦度，另一个方向它不管。两片组合起来，可以只沿这个方向放宽或收窄光束，视场角却反着变：光束宽度加倍，这个方向的视场角就减半。宽银幕电影拍摄时压缩画面、放映时再展开，激光器打出一条线，靠的都是这一点。

三维变形光学台展示一对柱轴平行的 Kepler 柱面镜的两个正交子午面。表示 Gaussian 截面的圆环穿过内部线束腰，变成椭圆形的准直光瞳；这个光瞳决定角向网格的倒数压缩，以及另行标注的几何散景足迹。

线束腰或映射轴比

z_w, 2w_w, S_p

$0.50$

正交尺度或角向压缩

\ell_{\mathrm{line}}, A_\theta

$50\%$

矩阵残差

C_x, \Delta_{\det}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

物理教程

检验变形宽银幕与柱面透镜的物理过程

背景柱面透镜只在一个子午面有光焦度，与它垂直的子午面没有。本实验把两片柱轴平行的正柱面透镜放在无焦间距上，有光焦度的方向满足传输关系： $\mathbf M_x=\mathbf L(f_2)\mathbf P(f_1+f_2)\mathbf L(f_1)=\begin{pmatrix}-f_2/f_1&f_1+f_2\\0&-f_1/f_2\end{pmatrix}$ 。左下角元素为零，正是画面要检验的：准直光进去，出来仍是准直光，只是截面形状变了。

为什么值得理解怎样用透镜只在一个方向上拉宽或压窄图像？

先抓重点

核心问题: 怎样用透镜只在一个方向上拉宽或压窄图像？
一句话直觉: 这对透镜不能分别放大瞳宽和视场角。在一级近轴近似下，两个缩放比互为倒数： $S_p=\left|\frac{f_2}{f_1}\right|,\qquad A_\theta=\left|\frac{f_1}{f_2}\right|,\qquad S_pA_\theta=1$ 。变形镜头的压缩和展开，定量上就靠这个倒数关系；两片透镜之间沿有光焦度方向形成的束腰，则是激光线的来源。

核心数学模型

有光焦度与无光焦度子午面

\mathbf L_x(f)=\begin{pmatrix}1&0\\-1/f&1\end{pmatrix},\qquad \mathbf L_y=\mathbf I

青色光线按薄透镜规律改变角度；金色光线穿过同一块玻璃，却不受一级光焦度作用。真实的面形处方还会带来厚度项和像差项，本模型不包含这些。

无焦柱面镜对

d=f_1+f_2,\qquad C_x=0,\qquad \det\mathbf M_x=1

第一片透镜把每条准直的边缘光线折向两片之间的线焦；第二片放在两焦距之和处，消去出射光在有光焦度方向上的角度。行列式等于一，说明近轴传输无损，相空间面积守恒。

Gaussian 光束让线焦有了有限宽度

q_{\mathrm{out}}=\frac{Aq_{\mathrm{in}}+B}{Cq_{\mathrm{in}}+D},\qquad \frac{1}{q}=\frac{1}{R}-\mathrm i\frac{\lambda}{\pi w^2}

按几何光线算，有光焦度方向上的宽度会缩到零。复光束参数把这个奇点换成基模 Gaussian 光束的有限束腰，无光焦度方向仍然很宽，于是得到一条亮度有限的真实线焦，而不是无限亮的数学线。

几何椭圆散景

\mathcal A_{\mathrm{bokeh}}=\max\!\left(S_p,S_p^{-1}\right)

刻意离焦时，几何模糊斑沿用映射后瞳的长宽比。它不是衍射点扩散函数，也没有考虑像差、裁切、镀膜和电影眩光拉丝。

常见难点

把所有椭圆光斑都叫作变形散景

容易误解电影画面中任何横向椭圆或拉丝都能直接测出镜头的压缩比。

正确理解离焦模糊斑可以随瞳的长宽比变化，但眩光拉丝还取决于反射、镀膜、光阑、裁切、像差和传感器响应。本 Lab 只显示瞳形状在理想一级近似下的影响，并与衍射 PSF 分开标注。

动手实验

01
场景 1：柱面线焦
从柱面线焦开始。改变第一焦距，观察青色有光焦度子午面光线移动束腰，而金色正交尺度保持宽展；同时确认第二片透镜始终位于两焦距之和的位置。
你会看到： 只有青色子午面在每片柱面透镜处改变斜率；金色光线穿过两片元件时没有一级角度改变，因此内部焦点是一条线而不是一个点。
02
场景 2：变形压缩
切换到变形压缩。比较圆形输入网格、椭圆出瞳截面环与被压缩的角向网格；反转两焦距比例，验证扩展与压缩交换角色。
你会看到： 第二焦距与第一焦距之比越大，有光焦度方向上的准直出瞳就越宽，对应的视场角则按严格的倒数比例变窄。
03
场景 3：椭圆散景与激光线
进入椭圆散景与激光线。比较物理上很窄的有光焦度轴 Gaussian 束腰与较长的无光焦度轴线段，再检查单独标注的几何散景卡是否服从同一瞳比例。
你会看到： 为了看得清楚，画面里玻璃的弯曲程度随焦距变化，但它只代表一个理想薄透镜的光焦度。有光焦度方向上的边缘光线角度一旦不再很小，模型最先失效。