流体力学 · 旋转剪切

Taylor–Couette Flow

拖动三维同轴圆筒，比较共同旋转、外筒驱动和反向旋转。解析速度决定示踪轨迹，Rayleigh 剖面标出无黏离心脆弱区域；可选环流只作为结构示意。

物理时间 $0.0000\,\mathrm{s}$

内筒 Reynolds

\mathrm{Re}_i

$31.42$

外筒 Reynolds

\mathrm{Re}_o

$0.00$

最小 Rayleigh

\Phi

$-31.58\,\mathrm{s^{-2}}$

Rayleigh 负值间隙占比 $100.0\%$

内筒对流体的基态扭矩 $1.092\,\mathrm{mN\,m}$

基态功率 $3.429\,\mathrm{mW}$

显示模型解析基态

同轴圆筒装置

观察旋转剪切

速度积分示踪轨迹跟随物理环向速度及可选预设环流。解析速度剖面两侧壁面速度决定有符号环向剖面。无黏 Rayleigh 剖面琥珀色标出负判据径向带，并非黏性失稳阈值预测。内筒转速

\Omega_i

30\,\mathrm{rpm}

外筒转速

\Omega_o

0\,\mathrm{rpm}

内筒半径

r_i

0.040\,\mathrm{m}

外筒半径

r_o

0.060\,\mathrm{m}

运动黏度

\nu

8.0\times10^{-5}\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}

预设环流强度

0.00

环流强度是人为选择的示意，不是求解所得的失稳振幅。环流仅位于 Rayleigh 负值带；没有负值带时自动抑制。

解析基态与无黏轴对称判据，不求解黏性失稳阈值、分岔或湍流。预设环流仅为结构示意。周期轴向窗口 $H=6(r_o-r_i)$ ，无端壁；基态扭矩与功率采用参考密度 $\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ ，不含示意环流的耗散。

先抓重点

核心问题: 相同转速差，为什么不代表相同的离心稳定性？
一句话直觉: 无黏轴对称 Rayleigh 判据考察比角动量的平方，而非角动量本身。 $\Phi=r^{-3}\frac{d(r v_\theta)^2}{dr}=4A\Omega(r)$ 的负值代表这一判据下的离心脆弱性，不确定有限黏度下的临界转速。

核心数学模型

圆筒 Couette 基态

v_\theta=Ar+\frac{B}{r},\qquad A=\frac{\Omega_o r_o^2-\Omega_i r_i^2}{r_o^2-r_i^2},\qquad B=\frac{r_i^2r_o^2(\Omega_i-\Omega_o)}{r_o^2-r_i^2}

两侧无滑移壁面速度决定解析剖面。基态没有径向或轴向流。

各自壁面 Reynolds 数

d=r_o-r_i,\qquad \mathrm{Re}_i=\frac{|\Omega_i|r_i d}{\nu},\qquad \mathrm{Re}_o=\frac{|\Omega_o|r_o d}{\nu}

整体共同旋转没有剪切，但两筒 Reynolds 数不为零。静止内筒的内筒 Reynolds 数始终为零。

无黏离心判据

\Phi(r)=\frac{1}{r^3}\frac{d(r^2\Omega)^2}{dr}=4A\left(A+\frac{B}{r^2}\right)

反转两筒方向不改变该判据。反向旋转时负值带可能只覆盖部分间隙。它不是黏性失稳阈值。

基态扭矩与功率

T_i=4\pi\rho\nu BH,\qquad T_o=-T_i,\qquad P_{\mathrm{base}}=T_i(\Omega_i-\Omega_o)\geq0

扭矩方向按圆筒对流体定义；功率等于解析基态的黏性耗散。固定参考密度与周期轴向长度见模型说明，不计预设环流的额外耗散。

预设二次环流

\Psi=C\sin^2(\pi s)\sin(kz),\qquad u_r=-\frac{1}{r}\partial_z\Psi,\qquad u_z=\frac{1}{r}\partial_r\Psi

归一化径向位置位于负判据带内；流函数保证轴对称不可压缩性，带边界的两项二次速度均为零。强度人为选择，不是由 Navier–Stokes 求解得到。

常见难点

负判据不是“已经长出涡胞”

容易误解只要 Rayleigh 判据为负，就可以从本实验读出真实临界转速和涡胞振幅。

正确理解该判据只讨论无黏轴对称扰动。有限黏度阈值、端壁、非轴对称模式和湍流需要更完整的模型；这里的可选环流只是示意。

整体共同旋转有运动，但没有剪切

容易误解转速差为零，流体就静止且 Reynolds 数为零。

正确理解共同旋转时示踪仍绕轴前进，两个壁面 Reynolds 数均非零；基态扭矩与耗散功率才是零。

动手实验

01
暂停测量整体旋转
选择“整体共同旋转”，单步或推进一秒。
应该观察到： 半径与轴向位置不变，方位角按真实转速推进；基态扭矩和功率为零。
02
保持剪切，改变绝对旋转
比较“环流示意”与“外筒更快”，再自行调节两个转速。
应该观察到： 速度差的大小不独自决定 Rayleigh 判据；外筒更快的稳定预设抑制所选环流。
03
观察局部负值带
选择“反向旋转”，显示 Rayleigh 剖面并推进轨迹。
应该观察到： 环流示意仅覆盖负判据径向带，外侧可能仍保留纯环向运动。