流体力学 · 旋转剪切

Taylor–Couette Flow

两个圆筒之间打转的流体，为什么有时会分成一层层涡胞？ 因为单位质量的角动量可能越往外越小。它的平方随半径减小时，一圈流体往外挪一点，带的角动量比周围流体多，离心力就把它甩得更远。按 Rayleigh 判据，这种流动不稳定，径向和轴向的二次环流会长大，沿轴排成一层层 Taylor 涡胞。

拖动视角查看三维同轴圆筒，比较共同旋转、外筒驱动和反向旋转。示踪粒子沿解析速度运动，Rayleigh 剖面标出无黏流动容易离心失稳的区域；可选环流只用来示意结构。

物理时间 $0.0000\,\mathrm{s}$

内筒 Reynolds

\mathrm{Re}_i

$31.42$

外筒 Reynolds

\mathrm{Re}_o

$0.00$

最小 Rayleigh

\Phi

$-31.58\,\mathrm{s^{-2}}$

Rayleigh 负值间隙占比 $100.0\%$

内筒对流体的基态扭矩 $1.092\,\mathrm{mN\,m}$

基态功率 $3.429\,\mathrm{mW}$

显示模型解析基态

同轴圆筒装置

观察旋转剪切

速度积分示踪轨迹跟随物理环向速度及可选预设环流。解析速度剖面两侧壁面速度决定有符号环向剖面。无黏 Rayleigh 剖面琥珀色标出负判据径向带，并非黏性失稳阈值预测。内筒转速

\Omega_i

30\,\mathrm{rpm}

外筒转速

\Omega_o

0\,\mathrm{rpm}

内筒半径

r_i

0.040\,\mathrm{m}

外筒半径

r_o

0.060\,\mathrm{m}

运动黏度

\nu

8.0\times10^{-5}\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}

预设环流强度

0.00

环流强度由人选定，只作示意，不是求解得到的失稳振幅。环流只出现在 Rayleigh 判据为负的区域；没有负值带时，环流自动被抑制。

本实验计算解析基态和无黏轴对称判据，不求解黏性失稳阈值、分岔或湍流。预设环流只示意结构。周期轴向窗口 $H=6(r_o-r_i)$ 没有端壁。基态扭矩和功率采用参考密度 $\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ ，不含示意环流的耗散。

先抓重点

核心问题: 转速差相同，离心稳定性为什么可以不同？
一句话直觉: 无黏轴对称 Rayleigh 判据看的是比角动量的平方怎样随半径变化，不是角动量本身。 $\Phi=r^{-3}\frac{d(r v_\theta)^2}{dr}=4A\Omega(r)$ 为负，说明按这个判据，流动容易离心失稳；它给不出有限黏度下的临界转速。

核心数学模型

圆筒 Couette 基态

v_\theta=Ar+\frac{B}{r},\qquad A=\frac{\Omega_o r_o^2-\Omega_i r_i^2}{r_o^2-r_i^2},\qquad B=\frac{r_i^2r_o^2(\Omega_i-\Omega_o)}{r_o^2-r_i^2}

流体贴着两侧壁面不滑动，两个壁面速度就定下了解析剖面。基态没有径向和轴向流动。

每个壁面各有一个 Reynolds 数

d=r_o-r_i,\qquad \mathrm{Re}_i=\frac{|\Omega_i|r_i d}{\nu},\qquad \mathrm{Re}_o=\frac{|\Omega_o|r_o d}{\nu}

整体共同旋转没有剪切，两个壁面 Reynolds 数却都不为零。内筒静止时，内筒 Reynolds 数总是零。

无黏离心判据

\Phi(r)=\frac{1}{r^3}\frac{d(r^2\Omega)^2}{dr}=4A\left(A+\frac{B}{r^2}\right)

两筒同时反向，判据不变。反向旋转时，负值带可能只占间隙的一部分。这个判据不是黏性流体开始失稳的阈值。

基态扭矩与功率

T_i=4\pi\rho\nu BH,\qquad T_o=-T_i,\qquad P_{\mathrm{base}}=T_i(\Omega_i-\Omega_o)\geq0

扭矩指圆筒施加在流体上的扭矩，功率等于解析基态的黏性耗散。参考密度和周期轴向长度见模型说明，预设环流的耗散不计在内。

预设二次环流

\Psi=C\sin^2(\pi s)\sin(kz),\qquad u_r=-\frac{1}{r}\partial_z\Psi,\qquad u_z=\frac{1}{r}\partial_r\Psi

归一化半径只在判据为负的径向带内取值。速度由流函数构造，自动满足轴对称不可压缩条件，两个二次速度分量在带的边界上都为零。环流强度由人选定，不是从 Navier–Stokes 方程解出来的。

常见难点

判据为负，不代表涡胞已经长出来

容易误解只要 Rayleigh 判据为负，就能从这里读出真实的临界转速和涡胞振幅。

正确理解这个判据只讨论无黏、轴对称的扰动。有限黏度下的失稳起点、端壁、非轴对称模式和湍流，都需要更完整的模型。这里可选的环流只是示意。

整体共同旋转有运动，但没有剪切

容易误解两筒转速差为零，流体就静止不动，Reynolds 数也为零。

正确理解共同旋转时，示踪粒子照样绕轴转，两个壁面 Reynolds 数都不为零。等于零的是基态扭矩和耗散功率。

动手实验

01
暂停后逐步观察整体旋转
选择“整体共同旋转”，再点“单步”或“推进一秒”。
你会看到： 示踪粒子的半径和轴向位置不变，只有方位角按实际转速前进；基态扭矩和功率都是零。
02
保持剪切，改变绝对旋转
比较“环流示意”与“外筒更快”，再自己调节两个转速。
你会看到： 光看转速差的大小，定不下 Rayleigh 剖面。“外筒更快”按判据是稳定的，选中的环流会被抑制。
03
找出只占一部分间隙的负值带
选择“反向旋转”，显示 Rayleigh 剖面，让示踪轨迹跑一段。
你会看到： 示意环流只占判据为负的那段半径，更外侧的流体仍可能只做圆周运动。