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Sandbox Physics

Q035 · 两台探测器上的光子计时

HBT 光子关联

两个光源一样亮，怎样从光子的到达方式分辨它们？ 看两个探测器在零延迟时的符合计数，就能分开。相干光（比如激光）的光子随机到达，关联曲线是平的；热光会聚束，符合计数偏多；单个发光体出现反聚束，因为它一次只能发一个光子。

把同一光源的光分给两台独立探测器，记录到达时间，分别为相干光、按时间模式组成的热光和单个发射体画出关联曲线。

交互模型HBT 光子关联
已记录点击N=0N=0
采样中心关联—\text{—}

02 / 沿着记录寻找证据

从两路时间戳，到一条关联曲线

一对点击，怎样进入曲线

此区间内，累计全部记录中的 A 点击：

g^AB=pairsaccidentals\widehat g_{AB}=\frac{\text{pairs}}{\text{accidentals}}

点击曲线检查一个延迟区间；基线 1 表示独立到达。

蓝色：采样 A–B 关联；误差线：记录间 jackknife 的一个标准误。灰色：独立的探测模型参考，开启死时间后省略。橙色：可选的 A–A 关联。所有数值均为有限延迟区间的平均。

数值结果与模型检查

中心关联 / 一个标准误

—\text{—}

中心配对数 / 估计偶然符合

—\text{—}

实测 A / B 计数率

—\text{—}

探测模型中心参考

—\text{—}

原始记录与科学边界

热光模式在时间上是矩形的，各模式强度独立、服从指数分布；这不是宽带黑体谱。单发射体参考的非相干泵浦率等于衰减率。每路先判断是否处于死时间，再给时间戳加上独立的均匀抖动。归一化已考虑有限时间窗的重叠，但用实测计数率估计仍会带来有限记录长度造成的偏差。误差线是近似的采样误差，不能当作显著性证明。

独立记录；上方回放的是最新一条
最近 12 次点击；CSV 含全部点击及每条记录的曝光

一手参考：Wineland · Nobel lecture · Kimble et al. · 1977 · quED · HBT

03 / 亮度相同的光源，光子到达规律不同

把三种光源放在一起看

每种光源采集八条独立记录，平均光通量和探测设置保持一致。打开任一结果，即可检查并导出对应时间戳。

单发射体

再次发光前，需要重新激发

—\text{—}

相干光

到达事件相互独立

—\text{—}

热光模式

强度起伏使点击聚集

—\text{—}

可以按当前探测设置开始比较。

物理教程

建立 HBT 关联

背景两个光源一样亮，光子到达的规律却可以大不相同。

为什么值得理解要了解光源，就得从一个个探测点击出发，一步步推断。

先抓重点

核心问题
光子喜欢一起到达吗？
一句话直觉
先从记录的点击得出结论，再拿模型来对照。

核心数学模型

时间和速率的单位

τ=t/t∗,r,γ,s,k,b,Φ in t∗−1\tau=t/t_*,\qquad r,\gamma,s,k,b,\Phi\ \text{in}\ t_*^{-1}

参考时间可任意选取，不对应具体原子或真实寿命。所有时间、速率和 CSV 数值都以它为单位。

正常序关联

g(2)(τ)=⟨:I(t)I(t+τ):⟩⟨I⟩2g^{(2)}(\tau)=\frac{\langle :I(t)I(t+\tau):\rangle}{\langle I\rangle^2}

光子不和自己配对。分束器把每个光子只送到一个出口，所以两台探测器记到的，总是两个不同光子组成的一对。

三种光源

gcoherent(2)=1,gthermal(2)=1+max⁡(0,1−∣τ∣/tc),gemitter(2)=1−e−4Φ∣τ∣g^{(2)}_{\rm coherent}=1,\quad g^{(2)}_{\rm thermal}=1+\max(0,1-|\tau|/t_c),\quad g^{(2)}_{\rm emitter}=1-e^{-4\Phi|\tau|}

相干光的到达是 Poisson 过程。热光由一段段独立的平顶模式组成，起点时刻随机；每段的强度服从指数分布，整段内的光子数服从几何分布。两能级发射体的泵浦率和衰减率相等，都是平均通量的两倍。热光峰的形状只属于这个模式模型。

从时间戳数出配对

Cj=∑a∈A∑b∈B1{tb−ta∈Bj},Ej=r^Ar^B∫Bj(T−∣τ∣)+ dτC_j=\sum_{a\in A}\sum_{b\in B}\mathbf1\{t_b-t_a\in B_j\},\quad E_j=\widehat r_A\widehat r_B\int_{B_j}(T-|\tau|)_+\,d\tau

每条独立记录单独计算时间窗重叠，并用实测计数率单独估计偶然符合。不同记录里的事件从不配对。中心箱同时覆盖正负延迟。

汇总估计与误差

g^j=∑mCjm∑mEjm,SEjack2=M−1M∑m(g^j,(−m)−g‾j,(−))2\widehat g_j=\frac{\sum_m C_{jm}}{\sum_m E_{jm}},\qquad {\rm SE}_{\rm jack}^2=\frac{M-1}{M}\sum_m(\widehat g_{j,(-m)}-\overline g_{j,(-)})^2

jackknife 标准误每次去掉一条记录来算，至少要有三条独立记录。它只是近似的采样误差，不保证任何置信水平。用有限长的记录估计计数率会带来偏差；共用同一个光子的配对，也不是相互独立的 Poisson 样本。

背景和计时抖动的影响

gAB(2)−1=SASB(SA+b)(SB+b)(gsource(2)−1),SA=RηΦ, SB=(1−R)ηΦg_{AB}^{(2)}-1=\frac{S_AS_B}{(S_A+b)(S_B+b)}(g_{\rm source}^{(2)}-1),\quad S_A=R\eta\Phi,\ S_B=(1-R)\eta\Phi

探测参考把这部分超额关联在延迟箱内取平均，再与两路独立均匀抖动之差的三角分布卷积。独立背景会降低对比度。开启死时间时不显示这条参考，因为它没有考虑探测器对之前点击的记忆。

死时间属于探测器

tn+1accepted−tnaccepted≥tdbefore timestamp jittert_{n+1}^{\rm accepted}-t_n^{\rm accepted}\ge t_d\quad\text{before timestamp jitter}

两台探测器各自恢复，被拒掉的到达不会延长死时间。对相干光，比较单路和跨路关联：单路出现凹陷，可能是仪器造成的。单路估计排除自身配对，用阶乘计数归一化。

常见难点

凹陷不一定来自量子光源

容易误解曲线上有凹陷，就证明光源是非经典的。

正确理解下结论之前，先检查两路记录、背景、时间分辨率和探测器死时间。

动手实验

  1. 01

    让亮度相同

    固定平均通量，切换光源。

    你会看到： 单看平均计数，分不出光子统计的差别。
  2. 02

    多攒几条记录

    采集八条独立记录，看中心那一箱的关联。

    你会看到： 误差棒来自几条独立记录之间的差异。
  3. 03

    检验探测器

    选择死时间情景，对比单路与跨路曲线。

    你会看到： 单靠探测器本身，就能让单路记录看起来像反聚束。

相关实验与文章

探针与测量 · 阅读路径

受控光与精密测量

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

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