Q033 · 调一个超导人工原子

Transmon 人工原子设计台

让人工原子不怕电荷扰动，要付出什么？ 非谐性。Josephson 能与充电能之比调高，能级对杂散电荷的敏感度按指数下降，但相邻能级的间隔也越来越接近。量子比特跃迁和上一级跃迁频率靠近了，就很难只驱动前者而不碰后者。

调节约瑟夫森能和充电能的比值，看电荷色散和不等间距的能级怎样变化，再比较从两种初态采到的跃迁谱。

模型最低能隙 $\text{—}$

第二能隙减去第一能隙 $\text{—}$

01 / 用一个频率探测原子

两块岛由一个结相连，能级间距不相等。

下方已有一组模拟扫描。先试电荷敏感预设，再增大结能，看能隙对电荷扰动的反应变小。

结与驱动动画均为示意；岛的发光按模型响应放大，不代表真实光强

探测频率

h\nu/E_C

18.9

制备探测状态变了吗？

就绪。一次扫描覆盖 121 个频率，每个频率重新制备 200 次。

做一组对照

结能与充电能之比

E_J/E_C

50

偏置电荷

n_g

0.25

制备能级

i

0

制备能级：零为基态，一为第一激发态。向上和向下跃迁都计为状态改变。

线宽、耦合与采样

线宽（半高全宽）

h\Gamma/E_C

0.18

采样种子

s_0

24133

预设会载入模拟扫描。拖驱动端口调频，拖电荷栅调偏置。

模型是单个约瑟夫森结在电荷基底下的 Hamiltonian，并检查有限基底是否收敛。芯片只是示意，谐振器代表读出链路，不模拟腔模。不预测寿命、门保真度或制造性能。

02 / 读出器到底记录了什么？

看哪些探测频率会改变状态。

显示模型参考

$h\nu/E_C$ · 蓝色：当前样本；橙色：最近保存的另一组样本；虚线：当前模型。拖动游标调频。

当前频率

\text{—}

改变次数 / 制备次数

—

\text{—}

当前频率的不确定度

这个频率上独立二元读数的百分之九十五 Wilson 区间，采样前不显示。逐点区间不是联合置信带；看着结果随时决定停止采样时，它也不再保证覆盖率。

最近 60 次读数

蓝色表示改变，灰色表示未变；每次都重新制备。

已记录样本

能级与电荷敏感性

03 / 谱线从哪里来？

压平对电荷的响应，同时保留不等的能隙。

$n_g$ · $(E_j-E_0)/E_C$ · 这是模型结果。左右拖动，也可以用对应滑块和键盘调节。

彩色箭头为从制备态出发的允许跃迁，粗细表示归一化强度；灰线为其他能级。

\text{—}

查看制备态与脉冲

模型检查 · 不增加计数

脉冲更快，可能多爬一级。

制备态的电荷概率。图中只画中间十七个电荷态，求解仍用全部二十九个态。 $n$

共振脉冲强度

\hbar\Omega/E_C

0.1

$t/\tau,\quad\tau=\pi/\Omega$ · 蓝：第一激发态；橙：漏到更高能级的部分。总是从基态出发，与扫谱的制备设置无关。

\text{—}

已保存的对照样本

怎样保存和比较样本

最多保存八组样本，保存后不再变化。恢复后可以查看；再采集会开始新记录。CSV 含逐次读数、实际探测频率和制备参数。用同一种子会重复同样的抽样，不算独立证据。

模型、基底收敛与来源

能量以参考能量为单位。探测频率指普通频率乘以 Planck 常数，不是角频率。曲线和能级箭头是模型预测；记录来自模拟的独立试验，每次都经过制备、探测和读出。

H/E_C=4(\hat n-n_g)^2-(E_J/E_C)\cos\hat\varphi

电荷基底取以零为中心的 29 个态，并与 33 个态的结果比较。驱动算符是电荷算符，检查最低四个能量；高能态也参与跃迁强度归一化。电荷色散定义为整数偏置与半整数偏置下最低能隙之差的绝对值。增大结能会降低相对非简谐性，但以充电能为单位的绝对差不一定趋于零。

只有一个固定的结，不含磁通调谐、准粒子、介质损耗、与腔的混合、多光子扫谱和实验室坐标系下的脉冲动力学。芯片和电容读出画的是概念连接图，结的尺寸经过放大。假定制备出理想纯态，读出也能理想地判断状态是否改变。

Koch et al. · Transmon Hamiltonian and design tradeoffs · Schreier et al. · Spectroscopy and charge dispersion

\text{—}

p(\nu)=0.01+0.20\sum_{j\ne i}w_{ji}\left[1+4((\nu-\nu_{ji})/\Gamma)^2\right]^{-1}

w_{ji}=\frac{|\langle j|O|i\rangle|^2}{\sum_{k\ne i}|\langle k|O|i\rangle|^2}

读出采用假定的非相干 Lorentz 线形响应：假改变背景固定为百分之一，百分之二十的对比度按强度分给各条跃迁。线宽为半高全宽。强度在每种制备内归一化，所以不同设置下的峰高不能用来比较绝对偶极矩。所有能级都参与归一化，包括图示范围以外的跃迁。这个读出模型不求解相干脉冲动力学，也不是拟合得到的仪器标定。

先抓重点

核心问题: 让人工原子不怕电荷扰动，要付出什么？
一句话直觉: 压低电荷色散，代价是相对非简谐性变小；对电荷不敏感，不等于各方面都更好。

核心数学模型

电荷基底 Hamiltonian

H/E_C=4(\hat n-n_g)^2-(E_J/E_C)\cos\hat\varphi

电荷只在相邻的整数 Cooper 对电荷态之间跳跃。跃迁由电荷算符驱动。

大结能近似

h\nu_{01}\simeq\sqrt{8E_JE_C}-E_C,\qquad\alpha\simeq-E_C

这只是比值很大时的渐近式，图上的谱来自对角化。最低能隙越大，相对非简谐性越小。

电荷色散

\delta_{01}=|\Delta E_{01}(1/2)-\Delta E_{01}(0)|

比较最低跃迁在两个电荷偏置下的能隙。色散小，不能当成测得的相干时间。

常见难点

不是每个能级都有谱峰

容易误解每个能级都应该产生一个看得见的谱峰。

正确理解制备的态、探测算符、线宽、频率范围和有限的计数都有影响。图示频带之外的谱线，仍然参与强度归一化。

模型不是标定仪器

容易误解模拟谱线很窄就证明实验寿命很长。

正确理解线宽和低对比度的 Lorentz 响应是给模型设定的输入。另外那个脉冲测试用的是旋波模型，不从这些计数推断脉冲动力学或硬件噪声。

动手实验

01
扫描前先预测
试试前两个对电荷敏感的预设，预测电荷偏置变化时，最低能隙会移多少。
你会看到： 虚线来自模型，不是采到的数据；预测时可以先把它藏起来。
02
采集并保存
扫描并保存样本，只改变一项制备条件，再扫一次。
你会看到： 每个频率都重新制备、独立采样。橙色点保留的是最近一次保存的制备。
03
解释消失的谱线
制备第一激发态，分清向下的跃迁和再往上一级的跃迁。
你会看到： 谱线位置由能量差决定；但矩阵元不为零，谱线才看得见。

Transmon 人工原子设计台

看哪些探测频率会改变状态。

压平对电荷的响应，同时保留不等的能隙。

脉冲更快，可能多爬一级。