流体力学 · 用粒子模拟水花

SPH Free-Surface Splash

只看附近邻居的粒子，怎样算出飞溅水体的密度和压强？ 每个粒子用一个平滑的权重函数把附近邻居加起来，得到当地的密度；再由状态方程把密度换成压强。这里把水当成略微可压缩的流体：人为设定的声速越高，密度越接近不变，可时间步也得越小。

这是一个二维弱可压缩 SPH 模拟，用移动的粒子重建自由表面。六个场景里，粒子场、紧支撑核、压强随水深的分布，以及能量和密度误差的历史曲线，都在同一张画布上同步更新。

模拟时间

t\sqrt{g/H}

$0$

流体粒子数

N

$260$

体相密度 RMS

\varepsilon_\rho

$0\%$

归一化质量

M/M_0

$1.000$

声学时间步

\Delta t_{\mathrm{CFL}}

$0$

场景验证量 $x_f/H=0$

数值实验

逐个查看流体粒子

三维体积求解粒子也沿深度方向运动，使用三维核和粒子质量。粒子间距取得较粗，浏览器才算得动。数值凝聚力一种简化的粒子间吸引项，这里明确标为数值模型。按压强着色关闭后改按归一化密度着色。选中粒子的核邻域点击粒子，把紧支撑检查圆移到它上面。核平滑长度

h/\Delta x

1.55

粒子间距

\Delta x/H

0.040

数值声速

c_0/\sqrt{gH}

10

运动黏度

\nu/\sqrt{gH^3}

0.008

重力尺度

g/g_0

1.00

三维模式用同一个 Tait 状态方程，配上按体积归一化的三次核。撞击场景让一颗球形液滴落进浅液池。负压一律截成零。壁面做了简化：壁面镜像粒子只参与密度计算，接触是非弹性的。数值凝聚力不是标定过的表面张力系数；粗分辨率下的水花，也不是经过验证的液冠破碎预测。

用“静水检验”看压强怎样随水深变化，用“自由落体检验”把质心轨迹和解析解对比。改变粒子间距，就能看出结果对分辨率有多敏感。

参考：Monaghan（1994），DOI 10.1006/jcph.1994.1034；Morris、Fox 与 Zhu（1997），DOI 10.1006/jcph.1997.5776。

这是二维弱可压缩 SPH 教学模型。密度由 $\rho_i=\sum_j m_j W_{ij}$ 重建，压强由 Tait 形式 $p_i=B\left[\left(\rho_i/\rho_0\right)^7-1\right]$ 给出。人工黏性、简化的壁面和数值凝聚力都是模型里明确保留的简化；水花形状不能当作高保真的工程预测。

物理教程

SPH 自由表面：怎样从邻居重建一池水

背景光滑粒子流体动力学（SPH）把连续的流体拆成许多会移动的粒子，每颗粒子带着质量、位置和速度。粒子只看一定半径内的邻居，用加权求和估出密度，再在压强梯度、黏性和重力作用下运动。粒子分布的边缘，自然就成了自由表面。

为什么值得理解溃坝、晃荡和液滴撞击里，界面都在剧烈运动。固定网格要另想办法追踪界面；拉格朗日粒子本身就跟着流体走。代价是密度有噪声、边界有误差，显式推进的时间步也受到严格限制。

先抓重点

核心问题: 每颗粒子只知道身边有哪些邻居。合在一起，它们怎样得出压强，让水近似不可压缩，还能表现出自由表面的运动？
一句话直觉: 核函数只在有限范围内不为零，它把身边一圈离散的邻居变成一个连续的估计。数值声速 $c_0$ 越高，密度变化越小，稳定的时间步也越短。在弱可压缩 SPH（WCSPH）里，水越接近不可压缩，算得就越慢。

核心数学模型

SPH 密度求和

\rho_i=\sum_j m_j W\!\left(\lVert\boldsymbol r_i-\boldsymbol r_j\rVert,h\right)

三次样条核只在有限的支撑半径内不为零。水体内部的粒子四周几乎都有邻居；自由表面上的粒子在空气一侧没有邻居，邻域被截掉了一块。

对称压强力与黏性

\frac{\mathrm d\boldsymbol v_i}{\mathrm dt}=-\sum_j m_j\left(\frac{p_i}{\rho_i^2}+\frac{p_j}{\rho_j^2}\right)\nabla_i W_{ij}+\nu\nabla^2\boldsymbol v_i+\boldsymbol g

压强项对每一对粒子都是对称的，所以力总是成对出现。这里的黏性拉普拉斯项、壁面反弹和凝聚项，都是低阶的教学近似。

Tait 状态方程与声学 CFL

p_i=\frac{\rho_0c_0^2}{\gamma}\left[\left(\frac{\rho_i}{\rho_0}\right)^\gamma-1\right],\qquad \Delta t\leq C\frac{h}{c_0+\max_i\lVert\boldsymbol v_i\rVert},\qquad \gamma=7

状态方程让水可以有限度地压缩，换来显式推进。提高数值声速能压低密度误差，允许的时间步也随之变小。

常见难点

粒子不是水分子

容易误解画面里的一颗蓝点就是一颗真实水分子。

正确理解每个 SPH 粒子代表一小块有限体积的流体，带着平滑后的质量、速度和热力学状态。它不是分子尺度的个体。

漂亮水花不等于收敛

容易误解皇冠形的水花看起来像回事，求解器就算验证过了。

正确理解先检查总质量、内部密度误差、静水关系 $p=\rho g d$ 、自由落体时质心的运动，以及改变粒子间距后结果是否稳定。看起来像，只能算最后一层证据。

动手实验

01
看核邻域怎样估出密度
暂停溃坝场景，先点一颗内部粒子，再点一颗自由表面上的粒子，比较 A 面板的支撑圆和 B 面板的邻居数。
你会看到： 内部粒子四周的邻居更齐全，各个方向几乎一样多；表面粒子缺了空气一侧的邻居，密度求和在边界处就偏小。
02
检验静水压强
选择“静水检验”，降低黏性后逐步推进，比较 C 面板的粒子压强点与静水直线。
你会看到： 越深压强总体越高，但粒子噪声、壁面处理和自由表面处偏小的密度，都会让散点偏离解析直线。
03
比较声速和时间步
在相同场景分别选择较低和较高数值声速，重置后比较体相密度 RMS 与声学时间步读数。
你会看到： 声速越高，密度波动通常越小，时间步却要更短。弱可压缩 SPH 的计算代价就在这里。
04
做分辨率检查
依次改变粒子间距并重置溃坝，在相近模拟时刻比较前沿位置、密度误差与历史曲线。
你会看到： 粒子数、邻域采样和允许的时间步会一起变。如果结论随分辨率大幅变化，单次飞溅就不能当作可靠的预测。

概念灵感：FluidMotion。模拟和图形都是原创，模型的适用范围见上文。