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Sandbox Physics

流体力学 · 粒子数值实验台

SPH Free-Surface Splash

二维弱可压缩 SPH 工作台用移动粒子重建自由表面。六个场景把粒子场、紧支撑核、压强—水深剖面，以及能量与密度误差历史同步在同一张科学画布上。

交互模型SPH Free-Surface Splash
模拟时间 tg/Ht\sqrt{g/H}00
流体粒子数 NN260260
体相密度 RMS ερ\varepsilon_\rho0%0\%
质量账本 M/M0M/M_01.0001.000
声学时间步 ΔtCFL\Delta t_{\mathrm{CFL}}00
场景验证量xf/H=0x_f/H=0

物理教程

SPH 自由表面：怎样从邻居重建一池水

背景光滑粒子流体动力学把连续流体离散成携带质量、位置和速度的移动粒子。每颗粒子只查询有限半径内的邻居，用加权和估计密度，再由压强梯度、黏性和重力推进运动。没有粒子覆盖的边界自然成为自由表面。

为什么值得理解溃坝、晃荡和液滴撞击都涉及剧烈移动的界面。固定网格必须额外追踪界面，而拉格朗日粒子本身就随流体移动；代价是密度噪声、边界误差和严格的显式时间步限制。

先抓重点

核心问题
如果每颗粒子只知道附近有哪些邻居，它们怎样共同恢复压强、近似不可压缩性和自由表面运动？
一句话直觉
紧支撑核把离散邻域变成连续估计。数值声速 c0c_0 越高，密度变化越小，但稳定时间步也越短；所以“更不可压缩”与“更快计算”在 WCSPH 中互相竞争。

核心数学模型

SPH 密度求和

ρi=∑jmjW ⁣(∥ri−rj∥,h)\rho_i=\sum_j m_j W\!\left(\lVert\boldsymbol r_i-\boldsymbol r_j\rVert,h\right)

三次样条核只在有限支撑半径内非零。体相粒子拥有近乎完整的邻域，自由表面粒子的邻域则被空气一侧截断。

对称压强力与黏性

dvidt=−∑jmj(piρi2+pjρj2)∇iWij+ν∇2vi+g\frac{\mathrm d\boldsymbol v_i}{\mathrm dt}=-\sum_j m_j\left(\frac{p_i}{\rho_i^2}+\frac{p_j}{\rho_j^2}\right)\nabla_i W_{ij}+\nu\nabla^2\boldsymbol v_i+\boldsymbol g

对称的粒子对压强项让作用力成对出现。这里的黏性拉普拉斯、壁面反弹与凝聚项都是低阶教学近似。

Tait 状态方程与声学 CFL

pi=ρ0c02γ[(ρiρ0)γ−1],Δt≤Chc0+max⁡i∥vi∥,γ=7p_i=\frac{\rho_0c_0^2}{\gamma}\left[\left(\frac{\rho_i}{\rho_0}\right)^\gamma-1\right],\qquad \Delta t\leq C\frac{h}{c_0+\max_i\lVert\boldsymbol v_i\rVert},\qquad \gamma=7

状态方程用有限压缩性换取显式推进。提高数值声速会抑制密度误差，同时把允许时间步压得更小。

常见难点

粒子不是水分子

容易误解画面里的一颗蓝点就是一颗真实水分子。

正确理解每个 SPH 粒子代表一个有限体积的连续介质样本，携带的是平滑后的质量、速度与热力学状态，而不是分子尺度的个体。

漂亮水花不等于收敛

容易误解只要皇冠形飞溅看起来合理，求解器就已经验证。

正确理解先检查质量账本、体相密度误差、静水关系 p=ρgdp=\rho g d、自由落体质心，以及改变粒子间距后的稳定性；视觉相似只能是最后一层证据。

动手实验

  1. 01

    从核邻域看见密度估计

    暂停溃坝场景，点击体相粒子与自由表面粒子，比较 A 面板支撑圆和 B 面板邻居数。

    应该观察到： 体相粒子拥有更完整、近乎各向同性的邻域；表面粒子缺失空气一侧的邻居，因此密度求和会出现边界亏损。
  2. 02

    检验静水压强

    选择“静水检验”，降低黏性后逐步推进，比较 C 面板的粒子压强点与静水直线。

    应该观察到： 深处压强总体更高，但粒子噪声、边界处理和自由表面密度亏损会让离散点偏离解析直线。
  3. 03

    观察声速—时间步权衡

    在相同场景分别选择较低和较高数值声速，重置后比较体相密度 RMS 与声学时间步读数。

    应该观察到： 更高声速通常压低密度波动，却要求更短时间步；这正是弱可压缩 SPH 的计算代价。
  4. 04

    做分辨率检查

    依次改变粒子间距并重置溃坝，在相近模拟时刻比较前沿位置、密度误差与历史曲线。

    应该观察到： 粒子数、邻域采样与允许时间步同时改变。若结论随分辨率大幅漂移，就不能把单次飞溅当成可靠预测。