可压缩流 · 双曲守恒律

Shock Tube & Riemann Problem

激波管的隔膜一破，为什么会同时生出激波、接触间断和稀疏扇？ 一维 Euler 方程里的信号有三种传播速度：流速减声速、流速本身、流速加声速。初始跳变就按这三族拆成三道波：一道激波；一个接触间断，两侧密度不同，压强和速度却相同；还有一个稀疏扇。

分别设定左右两侧的初态，用 HLL、Rusanov 或 HLLC 有限体积通量推进一维 Euler 方程，再把结果和精确 Riemann 解叠在一起比较。管内密度、x–t 波系图、四个变量的剖面和守恒量漂移同步更新。

初态适用域正密度、非真空初态

无量纲时间 $0.0000$

星区压强

p_*

$0.3031\,p_0$

激波速度

S_s

$1.752\,a_0$

密度误差

L_1

$0.00\,\%$

质量漂移 $0.00\,\%$

能量漂移 $0.00\,\%$

波系稀疏扇 · 接触间断 · 激波

Riemann 工作台

设定隔膜两侧的初态

叠加精确 Riemann 解将 HLL 网格解与自相似解析解逐点比较。x–t 特征线图显示激波射线、接触间断速度与稀疏扇。数值网格标记在每条剖面上标出有限体积网格的采样点。守恒量漂移面板用质量与能量漂移历史替换 Mach 剖面。左侧密度

\rho_L/\rho_0

1.000

共同速度偏移

(u_L+u_R)/(2a_0)

0

数值通量对照

F_{i+1/2}

\text{HLL}

左侧压强量级

\log_{10}(p_L/p_0)

1.00\,p_0

右侧压强量级

\log_{10}(p_R/p_0)

0.10\,p_0

右侧密度

\rho_R/\rho_0

0.125

速度差

(u_R-u_L)/a_0

0.00\,a_0

比热比

\gamma

1.40

有限体积网格数

N

200

Courant 数

C_{\mathrm{CFL}}

0.72

演化速度

s_t

1.00\times

用同一组初态对照 HLL、Rusanov 和能恢复接触间断的 HLLC。局部星区一旦失去正性，HLLC 就退回 HLL。两侧的密度和压强分别设定，速度由共同偏移和速度差决定： $u_L=\bar u-\Delta u/2,\quad u_R=\bar u+\Delta u/2$ 。会产生真空的膨胀初态被明确拒绝，不会画成有效的精确解。

最快的精确波到达流出边界之前，计算就会停下。守恒量的漂移反映的是数值格式本身，不是流出管外的通量。

这是理想气体的一维无黏模型，用 $L,\rho_0,p_0,\quad a_0=\sqrt{p_0/\rho_0}$ 无量纲化；这个速度单位不是参考声速。可以对照 HLL、Rusanov 和 HLLC 三种通量。初态如果会产生真空，就超出了精确解的适用范围，模拟会暂停并说明原因。为了安全，密度和压强设了下限，这可能破坏守恒；这套实现也不能证明密度和压强处处为正。

物理教程

激波管：一个初始跳变怎样拆成三类波

背景激波管里，一道隔膜把两段均匀气体隔开。隔膜一瞬间撤掉，管内只有一处不连续，它却会自己分成激波、接触间断和稀疏扇：激波压缩气体，接触间断是两种气体的分界面，稀疏扇让气体连续膨胀。

为什么值得理解Gary Sod 在 1978 年把这组初值定为检验可压缩流代码的经典算例。这里还用了 Harten、Lax 和 van Leer 在 1983 年提出的两波近似通量，数值解的每一格都和精确的自相似 Riemann 解对照。

先抓重点

核心问题: 同一个隔膜跳变，为什么会同时生成激波、接触间断和稀疏扇？
一句话直觉: 一维 Euler 系统有三族特征速度： $u-a$ 、 $u$ 与 $u+a$ 。初始跳变分摊到这三族波上，各自以不同速度传开，一个跳变就不会只是一条波。

核心数学模型

一维 Euler 守恒律

\frac{\partial}{\partial t}\begin{bmatrix}\rho\\ \rho u\\ E\end{bmatrix}+\frac{\partial}{\partial x}\begin{bmatrix}\rho u\\ \rho u^2+p\\ u(E+p)\end{bmatrix}=0

三行分别表示质量、动量和总能量守恒。数值通量只在网格界面上让相邻两格交换这些量。

理想气体状态方程与声速

p=(\gamma-1)\!\left(E-\frac12\rho u^2\right),\qquad a=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}

比热比把内能、压强和声速联系起来；改变它，三族波的速度都会跟着变。

HLL 两波数值通量

F_{\mathrm{HLL}}=\frac{S_R F_L-S_L F_R+S_LS_R(U_R-U_L)}{S_R-S_L}

左信号速度为负、右信号速度为正时，HLL 在两者之间只用一个平均的中间态。这样做仍然守恒，代价是接触间断比精确解宽。

CFL 稳定步长

\Delta t\le C_{\mathrm{CFL}}\frac{\Delta x}{\max_i\left(|u_i|+a_i\right)}

一步之内，最快的波走不出一个网格宽。网格一加密，时间步就自动变短。

常见难点

接触间断不是较弱的激波

容易误解密度仍有跳变，所以中间那条线只是另一条小激波。

正确理解接触间断两侧的压强和速度都连续，跳变的只有密度和气体种类。它随星区里的气流一起移动。

图上的激波变宽，不代表真实激波很厚

容易误解图上的激波跨了好几个网格，真实的无黏激波应该也这么厚。

正确理解在 Euler 方程里，激波是一个间断。图上看到的宽度，主要来自一阶 HLL 格式的数值耗散和有限的网格分辨率。

动手实验

01
复现 Sod 基准
选择“Sod 基准”，保持精确解叠加显示，一直运行到自动暂停。
你会看到： 左边展开一个连续的稀疏扇，中间的接触间断随气流移动，右边的激波跑在最前面。数值曲线紧贴着虚线画的精确解。
02
放大压强比
切换到“强激波”，逐步增加网格数，同时看密度误差。
你会看到： 激波速度和星区压强都大幅上升。网格越多，激波前沿越窄，整体误差越小，但时间步也越短。
03
改变波的组合
打开 x–t 特征线图，比较“对撞流”和“对称膨胀”。
你会看到： 两股气流对撞时，两侧的波都是激波；向外分开时，两侧都是稀疏扇。每一侧出现哪种波，要看星区压强比这一侧的初始压强高还是低。

概念灵感：FluidMotion。模拟和图形都是原创，模型的适用范围见上文。