可压缩流 · 双曲守恒律

Shock Tube & Riemann Problem

用 HLL 有限体积方法推进一维 Euler 方程，并把每个网格单元与精确 Riemann 解同步叠加。管内密度、x–t 波系、四变量剖面和守恒漂移一起更新。

无量纲时间 $0.0000$

星区压强

p_*

$0.3031\,p_0$

激波速度

S_s

$1.752\,a_0$

密度误差

L_1

$0.00\,\%$

质量漂移 $0.00\,\%$

能量漂移 $0.00\,\%$

波系稀疏扇 · 接触间断 · 激波

Riemann 工作台

组合隔膜两侧初态

叠加精确 Riemann 解将 HLL 网格解与自相似解析解逐点比较。x–t 特征线图显示激波射线、接触间断速度与稀疏扇。数值网格标记在剖面上显露有限体积网格采样。守恒审计面板用质量与能量漂移历史替换 Mach 剖面。左侧压强量级

\log_{10}(p_L/p_0)

1.00\,p_0

右侧压强量级

\log_{10}(p_R/p_0)

0.10\,p_0

右侧密度比

\rho_R/\rho_L

0.125

速度差

(u_R-u_L)/a_0

0.00\,a_0

比热比

\gamma

1.40

有限体积网格数

N

200

Courant 数

C_{\mathrm{CFL}}

0.72

演化速度

s_t

1.00\times

计算会在最快精确波到达流出边界前停止，因此守恒漂移衡量的是数值格式，而不是逸出通量。

这是理想气体的一维无黏模型，以 $L,\rho_0,p_0,a_0$ 无量纲化。HLL 通量保持守恒与正性，但会数值扩散间断。

物理教程

激波管：一个初始跳变怎样拆成三类波

背景激波管先用隔膜分开两侧均匀气体。隔膜瞬间移除后，初值只在一个位置不连续，却会自组织成激波、接触间断与稀疏扇；三者分别传递压缩、物质界面和连续膨胀。

为什么值得理解Gary Sod 在 1978 年把这组初值确立为可压缩流代码的经典测试。这里还采用 Harten、Lax 与 van Leer 在 1983 年提出的两波近似通量思想，让数值解能与精确自相似 Riemann 解逐格比较。

先抓重点

核心问题: 同一个隔膜跳变，为什么会同时生成激波、接触间断和稀疏扇？
一句话直觉: 一维 Euler 系统有三族特征速度： $u-a$ 、 $u$ 与 $u+a$ 。不同守恒量沿这些波族重新分配，因此一个跳变不会只产生一条波。

核心数学模型

一维 Euler 守恒律

\frac{\partial}{\partial t}\begin{bmatrix}\rho\\ \rho u\\ E\end{bmatrix}+\frac{\partial}{\partial x}\begin{bmatrix}\rho u\\ \rho u^2+p\\ u(E+p)\end{bmatrix}=0

三行分别守恒质量、动量与总能量；数值通量只在网格界面交换这些量。

理想气体闭合与声速

p=(\gamma-1)\!\left(E-\frac12\rho u^2\right),\qquad a=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}

比热比决定内能、压强与声速之间的关系，也改变三族特征波的速度。

HLL 两波数值通量

F_{\mathrm{HLL}}=\frac{S_R F_L-S_L F_R+S_LS_R(U_R-U_L)}{S_R-S_L}

当左右信号速度跨过零时，HLL 用一个平均中间态保持守恒；代价是接触间断比精确解更宽。

CFL 稳定步长

\Delta t\le C_{\mathrm{CFL}}\frac{\Delta x}{\max_i\left(|u_i|+a_i\right)}

每一步都让最快特征波移动不到一个网格宽；提高分辨率会自动缩短时间步。

常见难点

接触间断不是较弱的激波

容易误解密度仍有跳变，所以中间那条线只是另一条小激波。

正确理解接触间断两侧压强与速度连续，只有密度和物质标签跳变；它以星区流速移动。

平滑的激波不代表物理激波很厚

容易误解图上的激波跨越多个网格，所以真实无黏激波也有同样厚度。

正确理解Euler 激波在连续模型中是间断；这里的宽度主要来自一阶 HLL 数值耗散与有限分辨率。

动手实验

01
复现 Sod 基准
选择 Sod 基准，保留精确解叠加并运行到自动暂停。
应该观察到： 左侧生成连续稀疏扇，中间接触间断随流移动，右侧激波最先前进；数值曲线贴近虚线精确解。
02
放大压强比
切换到强激波，再逐步增加网格数并观察密度误差。
应该观察到： 激波速度与星区压强显著增大；更多网格让前沿变窄并降低整体误差，但时间步也随之缩短。
03
交换波系拓扑
比较对撞流与对称膨胀，并打开 x–t 特征线图。
应该观察到： 对撞把两侧波都变成激波；向外分离则生成两个稀疏扇，说明波型由星区压强相对初始压强决定。