流体力学 · 从对流到混沌

Rayleigh–Bénard Convection

一层流体从下方加热，什么时候会开始对流？ 当 Rayleigh 数超过临界值的时候。这个数衡量浮力与黏性、热扩散之间的强弱。超过之后，任何一点扰动都会长成稳定的对流滚轴；加热再强些，滚轴还会一次次反转方向。要是完全没有扰动，流体就一动不动，只靠热传导。

从一个微小扰动出发，积分三个对流模态。旋转视角，看冷热流体怎样交换、示踪粒子怎样运动；再比较温度剖面、热输运和相空间轨道，看稳态滚轴怎样形成，又怎样失去稳定。

模型时间

\tau

$0$

Rayleigh

\mathrm{Ra}

$3287.6$

环流模态

X

$0.1$

板面热流

\mathrm{Nu}_p

$1$

体积热输运

\mathrm{Nu}_v

$1$

初生增长率

\lambda_+

$2.882$

邻近状态距离

\delta

$10^{-6}$

线性稳定性稳态分支稳定

热对流工作台

让扰动自己演化

示踪粒子与轨迹沿同一动态速度场积分；颜色表示所在位置的温度。温度切片同一二维场的三个切片，无展向动力学。同步定量图表热流历史、平均温度剖面与模态相图。相对浮力驱动

r=\mathrm{Ra}/\mathrm{Ra}_c

5.0

动量与热扩散比

\mathrm{Pr}=\nu/\kappa

10.0

初始模态扰动

X_0=Y_0

0.10

每秒播放推进的模型时间

d\tau/dt_{\mathrm{play}}

1.00

播放速率只改时钟快慢，不改方程。调物理参数会让实验从初始扰动重新开始，暂停状态保持不变。

模型来源：E. N. Lorenz，Deterministic Nonperiodic Flow（1963），方程 23–27。

Lorenz 三模态模型的上下边界自由滑移、温度固定， $a^2=1/2,\quad \mathrm{Ra}_c=27\pi^4/4\approx657.5$ 。立体视图是二维场沿纵深的拉伸，实验不求解刚性壁面，也不求解三维湍流。

先抓重点

核心问题: 为什么有的扰动会消失，有的形成稳定环流，还有的让环流不断换向？
一句话直觉: 驱动比 $r$ 决定纯导热状态稳不稳定，但失稳不会凭空造出扰动。完全没有扰动时，流体一直保持精确的导热解；只有非零扰动才会沿不稳定方向长大。

核心数学模型

浮力、阻尼与几何

\mathrm{Ra}=\frac{g\alpha\Delta T H^3}{\nu\kappa},\quad r=\frac{\mathrm{Ra}}{\mathrm{Ra}_c},\quad \mathrm{Pr}=\frac{\nu}{\kappa},\quad \mathrm{Ra}_c=\frac{27\pi^4}{4}

对自由滑移、温度固定的边界，所选的水平波数让对流开始的阈值最低。刚性壁面的阈值不同。

一起演化的三个模态

\frac{dX}{d\tau}=\mathrm{Pr}(Y-X),\quad \frac{dY}{d\tau}=rX-Y-XZ,\quad \frac{dZ}{d\tau}=XY-bZ,\quad b=\frac{8}{3}

环流、冷热对比和平均温度剖面的变形一起演化。RK4 按固定的模型时间步长推进。另有一条邻近轨道，只在初始环流上多加了极小的一点。

由流函数得到不可压缩流场

\psi=\frac{\sqrt{2}\kappa(1+a^2)}{a}X\sin\!\left(\frac{\pi ax}{H}\right)\sin\!\left(\frac{\pi z}{H}\right),\quad u=-\partial_z\psi,\quad w=\partial_x\psi,\quad a^2=\frac12

用流函数表示流动，散度自然为零，流体也不会穿过上下板。水平方向是周期边界。立体视图只是把同一个场沿纵深拉伸，没有第三个方向的动力学。

温度场，不做截断

\frac{T-T_c}{\Delta T}=1-\frac{z}{H}+\frac{\sqrt{2}Y\cos(\pi ax/H)\sin(\pi z/H)-Z\sin(2\pi z/H)}{\pi r}

上下板温度固定。超出两板温度范围时，只是颜色不再变化，温度值本身不截断。低阶模型的温度可能冲出这个范围，强驱动时尤其明显。

两种热输运指标

\mathrm{Nu}_p=1+\frac{2Z}{r},\quad \mathrm{Nu}_v=1+\frac{2XY}{br},\quad \mathrm{Nu}_v-\mathrm{Nu}_p=\frac{2}{br}\frac{dZ}{d\tau}

层内储存的热量还在变化时，板面温度梯度和体积平均总热流不相等；到了稳态分支，两者一致。它们都由当前模态算出。

稳态解与时间尺度

X_*=Y_*=\pm\sqrt{b(r-1)},\quad Z_*=r-1,\quad \mathrm{Nu}_*=3-\frac{2}{r},\quad \tau=\pi^2(1+a^2)\frac{\kappa t}{H^2}

越过起始阈值后才有非零稳态分支。时钟显示的是无量纲模型时间，不是秒。强驱动下的 Lorenz 动力学不能定量预测实验室里的湍流。

常见难点

临界值取决于边界

容易误解所有上下加热的流体都有同一个初生阈值。

正确理解这里的上下界面自由滑移、温度固定，水平周期也固定。它的阈值不能套用到刚性无滑移壁面上。

相图不是流体粒子轨迹

容易误解双翼形模态轨道就是两个真实涡旋。

正确理解相图上的点代表整个流场的模态状态；装置里示踪粒子画出的才是位置轨迹。两者由同一个状态驱动，但画在不同的空间里。

失稳不等于真实湍流

容易误解稳态分支失稳后，图像就是解析充分的三维湍流。

正确理解驱动强时，只留三个模态会丢掉真实流体里的小尺度结构。混沌换向是这个截断系统的行为，不能当成真实湍流的热输运定律。

动手实验

01
让扰动衰减
选择“扰动衰减”，推进几个模型时间单位。
你会看到： 环流趋近零，平均温度回到线性导热剖面，两种热流趋近一。
02
形成稳定滚轴
选择“稳定滚轴”，比较早期与后期的热流曲线。
你会看到： 刚开始两种热流不一样；收敛后都接近虚线表示的稳态值，模态轨道停在其中一个稳态分支上。
03
观察确定性换向
选择“Lorenz 换向”，继续播放或提高播放速率。
你会看到： 环流方向反复翻转，轨道绕着两个分支转。初值上的微小差别可能越来越大。播放速率只改快慢，不改方程。
04
没有扰动会怎样
选择“无扰动”并推进时间，然后给初始扰动一个非零值。
你会看到： 精确的零解不会自己生出环流。设置初始扰动后，实验从零时刻重新开始。