流体力学 · 浮力失稳

Rayleigh–Bénard Convection

透明腔体的底板加热、顶板冷却。逐渐提高温差，观察线性温度梯度跨过临界 Rayleigh 数，变成上升热羽流与下降冷流组成的成对对流胞。

Rayleigh

\mathrm{Ra}

$3.5\times10^3$

超临界比

\mathrm{Ra}/\mathrm{Ra}_c

$2.0$

Prandtl

\mathrm{Pr}

$35.0$

Nusselt

\mathrm{Nu}

$1.16$

滚轴振幅 $0.47$

输运状态有序对流滚轴

这里使用 Boussinesq 近似下的弱非线性模型。刚性等温边界的初生阈值约为 $\mathrm{Ra}_c\approx1708$ ；模型不直接求解完整三维湍流对流。

先抓重点

核心问题: 为什么温度梯度先保持安静，随后却突然选择有尺度的滚轴图案？
一句话直觉: Rayleigh 数把浮力驱动与黏性、热扩散阻尼放在同一比值里；刚性等温边界在 $\mathrm{Ra}_c\approx1708$ 附近失稳。

\mathrm{Ra}=\frac{g\alpha\Delta T H^3}{\nu\kappa}

深度以三次方进入，因此几何对失稳阈值极其敏感。

\mathrm{Pr}=\frac{\nu}{\kappa}

比较动量扩散与热扩散的快慢，并影响滚轴的瞬态与形态。

\mathrm{Nu}=\frac{qH}{k\Delta T}

纯导热时等于一；对流出现后，整体热输运增强。

容易误解底部变热后，所有流体都向上移动。

正确理解质量守恒要求回流；上升热羽流必须由邻近下降冷流闭合成胞。

容易误解每个颜色像素都是完整三维湍流计算。

正确理解这里把导热基态与弱非线性滚轴模态叠加，用于展示初生和热输运因果链。