Q009 · 塑形、制备、测量

量子势阱能谱台

把阱压窄，能量会升高多少？ 无限深阱的能量与宽度的平方成反比：宽度减半，每个能级升到原来的四倍。阱变窄时，所有束缚能级都会升高，最低两级的间隔也跟着变大。

拖动阱壁，制备束缚能级，采集能谱。先设计一个能隙，再分别记录最低两个态的能量，用这些记录估计能隙。

模型最低能隙 $\text{—}$

所选能级阱外概率 $\text{—}$

先做一个预测

势阱变窄，最低能隙会变大吗？

拖动任一阱壁，对比有限与无限阱，再分别测量最低两态。能把能隙设计到 0.70 的百分之五以内吗？

先预测，再收集证据。

势阱宽度

w

4

阱外势能

V_0

8

质量比

\mu

1

制备方式势阱形状

更换所选能级保留带制备标签的记录。改变势阱、基底、探测噪声或种子会清空记录。

态细节、数值精度与采样

所选能级，从零计数

n

0

能量读数噪声

\sigma_E

0.08

正弦基底数

N_b

64

每次采样数

N

400

可复现种子

s

2614

所有量都无量纲，物理单位在课程中给出。增加基底数是为了检验截断误差，并不会提高探测器精度。最多保留 30,000 条记录。

模型在正弦基底上求解一维 Schrödinger 方程。有限阱外面套着一个数值外盒，阈值以上的盒态不算束缚态。能量读数按理想投影测量模拟，再加上 Gaussian 探测噪声，不是光学吸收谱。

采样证据与模型检验

模拟独立制备

用两组记录测量能隙

蓝条是记录到的能量，下方另一条刻度标出模型能级。能隙估计只把两个已知制备的样本均值相减，附一个标准误，不读取模型能隙。混合态的记录不带隐藏的能级标签。

实测最低能隙

\text{—}

模型束缚态数 / 展示态数

\text{—}

所选态外盒边缘概率

\text{—}

基底与边界检验

\text{—}

有限方阱与弧形阱的数值盒向每侧阱壁外延伸八个单位，弱束缚态可能偏移或漏掉。仅低于阈值的态计为束缚态，最低八态可制备。无限阱的盒壁为物理边界。矩阵残差很小不代表连续空间误差很小。

来源：MIT 8.04 · 11 · Feynman III · 8

先抓重点

核心问题: 能设计并测出指定能隙吗？
一句话直觉: 数值算出的态、模型参考和测量结果，各有各的角色，不能混为一谈。

核心数学模型

无量纲单位

X=x/\ell,\quad \mu=m/m_*,\quad \mathcal E=Em_*\ell^2/\hbar^2,\quad \tau=\hbar t/(m_*\ell^2)

先选定参考质量和长度。控件、坐标轴和 CSV 都用这些单位；双势阱的质量比固定为一。

正弦基底近似

u_j(X)=\sqrt{2/L}\sin\!\left[\frac{j\pi(X+L/2)}{L}\right],\quad H_{jk}=\frac{j^2\pi^2}{2\mu L^2}\delta_{jk}+\int u_jVu_k\,dX

保留下来的正弦模全部参与演化，势能矩阵的积分用解析式计算。显示的矩阵残差只检验本征求解器，不反映基底截断或边界带来的误差。

有限方阱与弧形阱

V_{\rm square}(X)=\begin{cases}0,&|X|<w/2\\V_0,&|X|\ge w/2\end{cases},\qquad V_{\rm curved}(X)=\min\!\left[V_0,\frac{4V_0X^2}{w^2}\right]

能量从阱底算起。只有低于外部势能的本征值才算束缚态。数值外盒在两侧阱壁外各延伸八个单位；靠近阈值的态，要检查外盒够不够大。

无限深阱的精确能级

\mathcal E_n=\frac{(n+1)^2\pi^2}{2\mu w^2},\quad n=0,1,\ldots

这里硬壁是真实的物理边界，正弦基底对图中的低能级是精确的。阱加宽或质量变大，能级都会降低。编号零是基态。

有限阱的匹配条件

k\tan(kw/2)=\kappa\quad\text{or}\quad-k\cot(kw/2)=\kappa,\qquad k=\sqrt{2\mu\mathcal E},\ \kappa=\sqrt{2\mu(V_0-\mathcal E)}

要求波函数和它的导数都连续，就得到偶、奇两个分支。这些连续空间的方程可以独立检验数值能谱。

能量记录

Y_j=\mathcal E_n+\eta_j,\quad \eta_j\sim\mathcal N(0,\sigma_E^2),\qquad \widehat{\Delta E}=\overline Y_1-\overline Y_0

只制备一个选定的态时，能级是已知的。等权非相干混合从最低的四个可用态里抽样，但记录里不写每次来自哪个能级。读数噪声来自理想探测器模型，不是自然线宽。

能隙估计的采样误差

\mathrm{SE}(\widehat{\Delta E})=\sqrt{\frac{s_0^2}{N_0}+\frac{s_1^2}{N_1}}

两种已知制备各需要至少两条记录。这个标准误不包含数值误差和标定误差。设计目标是能隙 0.70，偏差在百分之五以内。

常见难点

数值外盒不是无限直线

容易误解每个离散数值能量都是束缚态。

正确理解有限阱只束缚低于外部阈值的态。基底和外盒要分别检查。

多采样修不好模型

容易误解采样噪声是唯一误差来源。

正确理解有限基底、人为边界、没有纳入的探测物理，都要各自检验。

动手实验

01
调整阱形
拖动阱壁，比较有限、无限与弧形势阱。
你会看到： 能级间隔和波函数尾部的变化各不相同。
02
测量能隙
测量最低两态，并采集混合态能谱。
你会看到： 事先知道制备的是哪个态，估计能隙就用不着隐藏标签。
03
检查基底
选择高能态，并对照更大基底。
你会看到： 边界越陡，可能需要多得多的模式。