跳到主要内容
Sandbox Physics

Q009 · 塑形 / 制备 / 测量

量子势阱能谱台

直接拖动阱壁，制备束缚能级并采集能谱。先设计能隙，再从最低两态各自的能量记录估计它。

交互模型量子势阱能谱台
模型最低能隙—\text{—}
所选能级阱外概率—\text{—}
采样证据与模型检验

模拟独立制备

用两组记录测量能隙

蓝条为记录能量，下方独立刻度标出模型能级。能隙估计只对两个已知制备的样本均值作差，显示一个标准误，不读取模型能隙。混合态记录不包含隐藏能级标签。

实测最低能隙

—\text{—}

模型束缚态数 / 展示态数

—\text{—}

所选态外盒边缘概率

—\text{—}

基底与边界检验

—\text{—}

有限方阱与弧形阱的数值盒向每侧阱壁外延伸八个单位，弱束缚态可能偏移或漏掉。仅低于阈值的态计为束缚态，最低八态可制备。无限阱的盒壁为物理边界。矩阵残差很小不代表连续空间误差很小。

来源：MIT 8.04 · 11 · Feynman III · 8

采样分组
最近 12 个事件；CSV 包含全部事件与参数。

物理教程

建立束缚态能谱

背景束缚改变空间中允许的量子态。

为什么值得理解连接可以改变的势能和真正能用于估计的记录。

先抓重点

核心问题
能设计并测出指定能隙吗？
一句话直觉
数值量子态、模型参考与测量结果承担不同角色。

核心数学模型

单位

X=x/ℓ,μ=m/m∗,E=Em∗ℓ2/ℏ2,τ=ℏt/(m∗ℓ2)X=x/\ell,\quad \mu=m/m_*,\quad \mathcal E=Em_*\ell^2/\hbar^2,\quad \tau=\hbar t/(m_*\ell^2)

选定参考质量与长度。控制、坐标与 CSV 使用这些单位；双势阱质量比固定为一。

空间近似

uj(X)=2/Lsin⁡ ⁣[jπ(X+L/2)L],Hjk=j2π22μL2δjk+∫ujVuk dXu_j(X)=\sqrt{2/L}\sin\!\left[\frac{j\pi(X+L/2)}{L}\right],\quad H_{jk}=\frac{j^2\pi^2}{2\mu L^2}\delta_{jk}+\int u_jVu_k\,dX

全部保留的正弦模参与演化，势能矩阵积分采用解析形式。显示的矩阵残差衡量本征求解器，不衡量基底截断或边界误差。

有限方阱与弧形阱

Vsquare(X)={0,∣X∣<w/2V0,∣X∣≥w/2,Vcurved(X)=min⁡ ⁣[V0,4V0X2w2]V_{\rm square}(X)=\begin{cases}0,&|X|<w/2\\V_0,&|X|\ge w/2\end{cases},\qquad V_{\rm curved}(X)=\min\!\left[V_0,\frac{4V_0X^2}{w^2}\right]

能量零点在阱底。只有低于外部势能的本征值才计入束缚态。数值外盒延伸至两侧阱壁外八个单位；近阈值态需要外盒检验。

无限阱解析基准

En=(n+1)2π22μw2,n=0,1,…\mathcal E_n=\frac{(n+1)^2\pi^2}{2\mu w^2},\quad n=0,1,\ldots

此处硬壁为物理边界，正弦基底对展示的低能级精确。加宽势阱或增加质量都会降低能级。编号零表示基态。

有限阱独立匹配

ktan⁡(kw/2)=κor−kcot⁡(kw/2)=κ,k=2μE, κ=2μ(V0−E)k\tan(kw/2)=\kappa\quad\text{or}\quad-k\cot(kw/2)=\kappa,\qquad k=\sqrt{2\mu\mathcal E},\ \kappa=\sqrt{2\mu(V_0-\mathcal E)}

波函数及其导数连续给出偶、奇两个分支。这些连续空间方程独立检验数值能谱。

能量记录

Yj=En+ηj,ηj∼N(0,σE2),ΔE^=Y‾1−Y‾0Y_j=\mathcal E_n+\eta_j,\quad \eta_j\sim\mathcal N(0,\sigma_E^2),\qquad \widehat{\Delta E}=\overline Y_1-\overline Y_0

单态运行中制备能级已知。等权非相干混合抽样最低四个可用态，但记录不包含隐藏能级身份。读数噪声为明确的理想探测器模型，不是自然线宽。

能隙估计的采样误差

SE(ΔE^)=s02N0+s12N1\mathrm{SE}(\widehat{\Delta E})=\sqrt{\frac{s_0^2}{N_0}+\frac{s_1^2}{N_1}}

两个已知制备各至少需要两条记录。此标准误不包含数值与标定误差。设计目标为能隙 0.70 的百分之五以内。

常见难点

数值外盒不是无限直线

容易误解每个离散数值能量都是束缚态。

正确理解有限阱只有低于外部阈值的态才是束缚态；分别对照基底和外盒。

更多事件不会修正模型

容易误解采样噪声是唯一误差来源。

正确理解有限基底、人为边界和遗漏的探测物理需要分别检验。

动手实验

  1. 01

    塑形

    拖动阱壁，比较有限、无限与弧形势阱。

    应该观察到： 能级间隔与尾部作出不同响应。
  2. 02

    测量

    测量最低两态，并采集混合态能谱。

    应该观察到： 已知制备使能隙估计无需隐藏标签。
  3. 03

    提高精度

    选择高能态，并对照更大基底。

    应该观察到： 尖锐边界可能需要明显更多的模式。